Autor Tema: Producto de una matriz por su transpuesta

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11 Junio, 2020, 03:12 am
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JoanL

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Hola a todos y todas.
Resolviendo ejercicios, me encontré con el siguiente:
\( \textrm{Sea }C\textrm{ una matriz de }n\times m\textrm{, entonces la matriz }C^tC \textrm{ es simétrica.} \)
Yo, simplemente dije que
\( (C^tC)^t=C^t(C^t)^t=C^tC \).
Sin embargo, no estoy muy seguro si esa sea la demostración como tal.
Les agradecería mucho si me pudieran orientar un poco.
Saludos.

11 Junio, 2020, 03:27 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Hola a todos y todas.
Resolviendo ejercicios, me encontré con el siguiente:
\( \textrm{Sea }C\textrm{ una matriz de }n\times m\textrm{, entonces la matriz }C^tC \textrm{ es simétrica.} \)
Yo, simplemente dije que
\( (C^tC)^t=C^t(C^t)^t=C^tC \).
Sin embargo, no estoy muy seguro si esa sea la demostración como tal.
Les agradecería mucho si me pudieran orientar un poco.

Yo lo veo bien.

Saludos

11 Junio, 2020, 07:55 am
Respuesta #2

feriva

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Yo, simplemente dije que
\( (C^tC)^t=C^t(C^t)^t=C^tC \).


No sé, no sé si das por hecho en la primera igualdad la conmutativa.

(había puesto una solución que estaba mal, se me había olvidado una traspuesta)

Ah, sí, sí está bien; ahora con lo que ha dicho martiniano ya lo veo

Saludos.

11 Junio, 2020, 08:02 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

\( \textrm{Sea }C\textrm{ una matriz de }n\times m\textrm{, entonces la matriz }C^tC \textrm{ es simétrica.} \)
Yo, simplemente dije que
\( (C^tC)^t=C^t(C^t)^t=C^tC \).
Sin embargo, no estoy muy seguro si esa sea la demostración como tal.

Yo diría que está bien. Pero yo intentaría dejar claro, para no confundir, que lo que estás aplicando es que si \( A,B \) son matrices cuadradas del mismo orden, entonces:

\( (A\cdot{}B)^t=B^t\cdot{}A^t \)

Un saludo.

25 Junio, 2020, 04:50 am
Respuesta #4

Orientation

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Hola.

\( \textrm{Sea }C\textrm{ una matriz de }n\times m\textrm{, entonces la matriz }C^tC \textrm{ es simétrica.} \)
Yo, simplemente dije que
\( (C^tC)^t=C^t(C^t)^t=C^tC \).
Sin embargo, no estoy muy seguro si esa sea la demostración como tal.

Yo diría que está bien. Pero yo intentaría dejar claro, para no confundir, que lo que estás aplicando es que si \( A,B \) son matrices cuadradas del mismo orden, entonces:

\( (A\cdot{}B)^t=B^t\cdot{}A^t \)

Un saludo.


No necesariamente. Demostracion de que el producto entre una matriz y su transpuesta da como resultado otra simetrica: \( C = A.B \), de modo que \( A^{n \times m} \) y \( B^{m \times n} \). Por hipotesis \( B = A^T \). Ademas \( C = (c_{ij}) \)\( _n \), \( A = (a_{ij}) \)\( _{n \times m} \) y \( B = (b_{ij}) \)\( _{m \times n} \), siendo \( (b_{ij}) = (a_{ij})^T \)

Luego, por definicion de producto matricial \( C = A.B \): \( c_{ij} = \sum_{k=1}^m{a_{ik}.b_{kj}} = \sum_{k=1}^m{a_{ik}.(a_{kj})^T} = \sum_{k=1}^m{a_{ik}.a_{jk}} \)

Si ahora definimos al elemento generico de \( C^T \): \( c_{ji} = \sum_{k=1}^m{a_{jk}.b_{ki}} = \sum_{k=1}^m{a_{jk}.(a_{ki})^T} = \sum_{k=1}^m{a_{jk}.a_{ik}} \)

Por propiedad conmutativa en el producto de escalares en una sumatoria, tenemos que ambas expresiones finales coinciden y por ende: \( c_{ij} = c_{ji}, C=C^T \)
Se verifica que para una matriz de cualquier tamaño el producto con su transpuesta genera una matriz simetrica.