Autor Tema: Puntos de equilibrio

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11 Junio, 2020, 02:13 am
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Julio_fmat

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Para diferentes valores de \( \delta \), clasifique los puntos de equilibrio del sistema:

\( \dot{X_1}=X_2, \dot{X_2}=X_1-X_1^3-\delta X_2 \).

Gracias desde ya.

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Junio, 2020, 07:57 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Para diferentes valores de \( \delta \), clasifique los puntos de equilibrio del sistema: \( \dot{X_1}=X_2, \dot{X_2}=X_1-X_1^3-\delta X_2 \).

¿Qué valores propios has obtenido correspondientes al sistema linealizado?

02 Agosto, 2020, 08:35 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Para diferentes valores de \( \delta \), clasifique los puntos de equilibrio del sistema: \( \dot{X_1}=X_2, \dot{X_2}=X_1-X_1^3-\delta X_2 \).

¿Qué valores propios has obtenido correspondientes al sistema linealizado?

Gracias Fernando, pero no me queda claro, te refieres a resolver la ecuación \( \text{det}(A-\lambda I)=0 \)?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

Ayer a las 06:47 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Gracias Fernando, pero no me queda claro, te refieres a resolver la ecuación \( \text{det}(A-\lambda I)=0 \)?

Julio, tengo la impresión de que en general intentas o propones que te ayuden en problemas sobre los que no has estudiado la teoría previa. El problema que propones podrá ser complicado o no, pero el primer paso para su resolución no requiere nada de imaginación, sólo del conocimiento de la teoría que menciono. Te ayudo a empezarlo pero tengo la sensación de que puede ser un esfuerzo esteril por mi parte si no te "remangas" y te pones a estudiar los fundamentos teóricos.

Los puntos de equilibrio del sistema comprobarás inmediatamente que son \( (0.0) \) y \( (\pm 1,0) \). La matriz del sistema linealizado para un \( (x_1,x_2) \) genérico es:

        \( J(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1-3x_1^2}&{-\delta}\end{pmatrix} \)

Para el punto de equilibrio \( (0,0) \) obtenemos:

        \( J(0,0)=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{1}&{-\delta}\end{pmatrix} \)

Los valores propios son \( \lambda=\displaystyle\frac{-\delta \pm \sqrt{\delta^2+4}}{2}. \) El máximo de las partes reales de estos valores propios es

        \( \mu=\displaystyle \frac{-\delta + \sqrt{\delta^2+4}}{2} \)

y al ser \( \mu >0 \) el origen es punto inestable para todo \( \delta \) (conocido teorema). Etc, etc, etc, ...

Si continúas puede que te aparezca algún caso dudoso para los otros puntos de equilibrio, con lo cual tendrías que usar otras técnicas.

Lo mejor y más útil para ti es que te quedes con la perorata inicial de mi mensaje.