Autor Tema: La representación de Renyi

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10 Junio, 2020, 05:59 am
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YeffGC

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Supongamos que \( E_1 \ldots E_n \) son variables aleatorias distribuidas exponencialmente con el parámetro \(  \lambda >0 \) para que
\( P \left[E_1 \leq{ x}   \right] = 1-e^{-\lambda x}, x>0  \)

sea
\( E_{1,n}\leq{E_{2,n}}\leq \ldots \leq{E_{n,n}} \)

son estadísticas de orden. probar los n espacios

\( E_{1,n},E_{2,n}-E_{1,n},\ldots, E_{n,n}-E_{n-1,n} \)

son variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente donde \( E_{k+1,n}-E_{k,n} \) tiene parámetro \( (n-k) \lambda \) Intuitivamente, esto resulta del olvido
propiedad de la distribución exponencial.


espero su ayuda esta muy dificil

10 Junio, 2020, 10:04 am
Respuesta #1

geómetracat

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Una manera es partir de la densidad conjunta de los estadísticos de orden, que en general es (para distribuciones absolutamente continuas, de manera que tenga sentido hablar de densidad):
\( f(x_1,\dots,x_n)=n!f(x_1)f(x_2) \dots f(x_n)I(x_1<x_2<\dots<x_n) \).
(\( I \) representa función indicatriz.)

Particularizando para el caso exponencial tienes:
\( f(x_1,\dots,x_n)= n!\lambda^ne^{-\lambda(x_1+\dots+x_n)}I(0<x_1<\dots<x_n) \).

Ahora puedes hacer el cambio de \( (E_1,E_2, \dots, E_n) \) a \( (E_1, E_2-E_1, \dots, E_n-E_{n-1}) \), que corresponde a poner \( x_1=t_1, x_2=t_2+t_1, x_3=t_3+t_2+t_1, \dots, x_n=t_n + t_{n-1} + \dots + t_1 \).
Basta con que hagas el cambio en la densidad de arriba (el jacobiano es uno, así que es simplemente sustituir) y te fijes que ahora los \( t_i \) varían independientemente (únicamente están restringidos a la condición \( t_i>0 \)). Si sustituyes obtendrás la función de densidad conjunta de las variables aleatorias que te interesan y puedes identificar directamente las distribuciones marginales y ver que son independientes (porque la función de densidad conjunta coincide con el producto de las marginales).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Junio, 2020, 06:22 am
Respuesta #2

YeffGC

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Una manera es partir de la densidad conjunta de los estadísticos de orden, que en general es (para distribuciones absolutamente continuas, de manera que tenga sentido hablar de densidad):
\( f(x_1,\dots,x_n)=n!f(x_1)f(x_2) \dots f(x_n)I(x_1<x_2<\dots<x_n) \).
(\( I \) representa función indicatriz.)

Particularizando para el caso exponencial tienes:
\( f(x_1,\dots,x_n)= n!\lambda^ne^{-\lambda(x_1+\dots+x_n)}I(0<x_1<\dots<x_n) \).

Ahora puedes hacer el cambio de \( (E_1,E_2, \dots, E_n) \) a \( (E_1, E_2-E_1, \dots, E_n-E_{n-1}) \), que corresponde a poner \( x_1=t_1, x_2=t_2+t_1, x_3=t_3+t_2+t_1, \dots, x_n=t_n + t_{n-1} + \dots + t_1 \).
Basta con que hagas el cambio en la densidad de arriba (el jacobiano es uno, así que es simplemente sustituir) y te fijes que ahora los \( t_i \) varían independientemente (únicamente están restringidos a la condición \( t_i>0 \)). Si sustituyes obtendrás la función de densidad conjunta de las variables aleatorias que te interesan y puedes identificar directamente las distribuciones marginales y ver que son independientes (porque la función de densidad conjunta coincide con el producto de las marginales).

No he definido densidad aun  :banghead:

11 Junio, 2020, 07:57 am
Respuesta #3

geómetracat

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¿No has hecho funciones de densidad? Entonces, ¿qué puedes usar? ¿Cómo defines la distribución exponencial, únicamente a partir de su función de distribución? Y ¿qué sabes y puedes usar sobre los estadísticos de orden?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)