Autor Tema: Triángulo inscripto en un cuadrado

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10 Junio, 2020, 03:34 am
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RodriStone

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Tengo el siguiente problema:

Sea ABCD un cuadrado, sean los puntos M en el lado BC , y R en el lado CD tales que el ángulo \( \widehat{BAM} \) es igual al ángulo \( \widehat{MAR} \).
Probar que AR=BM+RD

Quise usar Pitágoras ,pero no, no llego a nada, sería ideal una ayuda

También se me ocurrió el teorema del seno trazando la circunferencia que contiene a A,M,R , pero no tengo suficientes datos para usar eso

10 Junio, 2020, 06:54 am
Respuesta #1

hméndez

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Tengo el siguiente problema:

Sea ABCD un cuadrado, sean los puntos M en el lado BC , y R en el lado CD tales que el ángulo \( \widehat{BAM} \) es igual al ángulo \( \widehat{MAR} \).
Probar que AR=BM+RD

Quise usar Pitágoras ,pero no, no llego a nada, sería ideal una ayuda

También se me ocurrió el teorema del seno trazando la circunferencia que contiene a A,M,R , pero no tengo suficientes datos para usar eso

Si haces un dibujo y llamas \( \alpha \) al ángulo y tomas el lado del cuadrado como de longitud  1 entonces:

\( BM=tan(\alpha) \)

\( RD=tan(pi/2-2\alpha)=cot(2\alpha)=1/tan(2\alpha)=\frac{1-tan(\alpha) tan(\alpha)}{2 tan(\alpha)} \)

\( AR=\frac{1}{cos(pi/2-2 \alpha)}=\frac{1}{sen(2 \alpha)} \)

Ahora comprueba (usando identidades) que la suma de las dos primeras expresiones da la última.


\( tan(\alpha) + \frac{1-tan(\alpha)tan(\alpha)}{2 tan(\alpha)}\equiv{\frac{1}{sen(2\alpha)}} \)

saludos

23 Julio, 2020, 12:24 am
Respuesta #2

doncarlitos

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 [attachment id=0 msg=449945]

Hola.
Paso a dar una prueba sintética para esta propiedad.
Sea un cuadrado  ABCD y sea AE el segmento que determina un ángulo 2α con AB, sea AT la bisectriz correspondiente al ángulo BAE
El ángulo AFB es de 90-α ; y el AED de 2α  por alternos entre pararalelas.
Trazamos un segmento DH de la misma longitud que BF y unimos H  con A .
Los triángulos rectángulos  AFB y AHD    son congruentes(LAL) A=90 , pero entonces el triángulo AHE  es isósceles pues con ángulos 2α  y 90-α , el tercer ángulo debe ser 90-α
y entonces  AE=HE=HD+DE=BF+DE.

Saludos
doncarlitos


23 Julio, 2020, 06:27 am
Respuesta #3

ingmarov

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Hola

Pensé mucho este problema pero no logré resolverlo. Debo aprender a hacer estas construcciones.

Gracias maestro.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...