Autor Tema: Diagonalización

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09 Junio, 2020, 11:47 am
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mg

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Buenas, me he encontrado el siguiente ejercicio, y pese a que viene con solución, hay un paso que no logro deducir. El enunciado es el siguiente:
Sean \( V \) un espacio  vectorial real, \( B=\left\{{v_1,v_2,v_3,v_4}\right\} \) una base \( V \) y \(  f \) un endomorfismo que verifica las siguientes condiciones:
a)Tiene dos autovalores distintos \( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \) con multiplicidades algrabraicas \( a_1+a_2=4 \)
b)\( ker(f)\equiv{\left\{{x_1-x_2=0,x_4=0}\right\}} \)
c)\( f(v_4)=2v_4 \) y \( v_1-v_2 \) es un autovector.
Determine si \( f  \)es diagonalizable.

En la solución deduce que existe la forma de Jordan, y que sus autovalores son 0 y 2. Ahora dice "Para deducir cual de los autovalores esta asociado al autovector \( v_1-v_2 \) comprobamos que \( v_1-v_2\not\in Ker(f) \), es decir no esta asociado a 0, luego esta asociado a \( \lambda_2=2 \)."
Estaría agradecido si me comentaran el por qué de \( v_1-v_2\not\in Ker(f) \).
Un saludo y gracias.

09 Junio, 2020, 12:01 pm
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

\( v_1-v_2=(1, -1, 0, 0)^t \) no verifica las ecuaciones del kernel de \( f \).

10 Junio, 2020, 05:53 pm
Respuesta #2

mg

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Pero, para ver si un vector verifica las ecuaciones del  kernel, ¿ese vector no tiene que estar en coordenadas con respecto a la base canónica?

10 Junio, 2020, 06:07 pm
Respuesta #3

Bobby Fischer

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Sean \( V \) un espacio  vectorial real, \( B=\left\{{v_1,v_2,v_3,v_4}\right\} \) una base \( V \) y \(  f \) un endomorfismo que verifica las siguientes condiciones:
a)Tiene dos autovalores distintos \( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \) con multiplicidades algrabraicas \( a_1+a_2=4 \)
b)\( ker(f)\equiv{\left\{{x_1-x_2=0,x_4=0}\right\}} \)
c)\( f(v_4)=2v_4 \) y \( v_1-v_2 \) es un autovector.

Podría haberse escrito quizás de manera más explícita que las ecuaciones del núcleo están escritas respecto a \( B=\left\{{v_1,v_2,v_3,v_4}\right\} \). De todas formas eso es lo que en mi opinión puede deducirse del enunciado.

10 Junio, 2020, 06:15 pm
Respuesta #4

mg

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Sí, acabo de mirar la definición de ker detenidamente y es cierto. Los vectores son con respecto a la base del espacio de salida de la función, de modo que es totalmente correcto. Muchas gracias por la ayuda.

10 Junio, 2020, 09:34 pm
Respuesta #5

delmar

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Hola

Otra forma de responder a la interrogante puntual, por reducción al absurdo.

El \( Ker(f)=\left\{{x_1(v_1+v_2)+x_3v_3, \ \ x_1,x_3\in{R}}\right\} \), en resumen es un conjunto de combinaciones lineales de dos vectores que son linealmente independientes \( v_1+v_2, v_3 \) su dimensión es 2. En caso \( v_1-v_3\in{Ker(f)} \) entonces \( \exists{x_1=C_1, \ x_3=C_2 \ / \ C_1\neq 0 \vee C_2\neq 0, \wedge \ C_1(v_1+v_2)+C_2v_3=v_1-v_2}\Rightarrow{(C_1-1)v_1+(C_1+1)v_2+C_2v_3=0} \), por ser los tres vectores linealmente independientes (elementos de la base), las únicas constantes que hacen nula la combinación lineal son \( C_1-1=0,C_1+1=0,C_3=0\Rightarrow{C_1=1\wedge C_1=-1} \) absurdo. Espero haberte ayudado, conveniente sería que muestres la matriz respecto a la base B, con los datos es muy sencilla determinarla,  de ahí se desprenden los autovalores.

Saludos