[Hauss]

Hola amigos, soy nuevo viendo temas de conexidad, podrían ayudarme con los siguientes problemas por favor:

1.-Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, \( Y\subset X \) un subespacio con la métrica restringida de \( X \). Pruebe que \( A\subset Y \) es cerrado en \( Y \) si y solo si existe \( B\subset X \) cerrado en \( X \) tal que \( A=B \cap Y \)

2.-Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, \( Y\subset X \) un subespacio con la métrica restringida de \( X \). Pruebe que si \( Y \) es cerrado en \( X \) entonces \( A\subset Y \) es cerrado en \( Y \) si y solo si es cerrado en \( X \)

La verdad que no sé como atacar el problema, les agradecería mucho que me ayudaran a resolverlo, viene en una parte de conexidad y lo he pensado bastante, pero no logro saber que hacer.

Muchas gracias de antemano.


Avance del enunciado marcado:
Supongamos que \( A \) es cerrado en el espacio \( (X,d_{y}) \) donde \( d_{y} \) denota la métrica restringida.

Esto significa que dado \( y\in Y \), si para cada \( \epsilon>0 \) la bola abierta definida como \( B_{Y_{\epsilon}}(y)= \){\( z\in Y| d_{y}(z,y)<\epsilon \)} intersecta \( A \), entonces \( y\in A. \) Supongamos que \( x\in \bar{A} \cap Y. \). Entonces, para cada \( \epsilon>0 \) la bola \( B_{\epsilon} \) intersecta a A. Aquí no sé como argumentar si \( x\in A \), pero me parece que si. Agradecería que me ayudaran con eso.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola amigos, soy nuevo viendo temas de conexidad, podrían ayudarme con los siguientes problemas por favor:

1.-Sea \( (X,d) \) un espacio métrico, \( Y\subset X \) un subespacio con la métrica restringida de \( X \). Pruebe que \( A\subset Y \) es cerrado en \( Y \) si y solo si existe \( B\subset X \) cerrado en \( X \) tal que \( A=B \cap Y \)

Que \( A \) sea cerrado en \( Y \) significa que para todo \( y\in Y-A \) existe una bola abierta \( B_Y(y,r)\subset Y-A \).

Ahora sea \( B=Cl_X(A) \) la clausura en \( X \) de \( A \). Es inmediato que \( A\subset Cl_X(A)\cap Y=B\cap Y \).

Por otra parte si \( y\in B\cap Y \) tenemos que ver que \( y\in A \). En caso contrario \( y\in Y-A \) y existe una bola abierta \( B_Y(y,r)\subset Y-A \). Pero por otra parte como \( y\in B=cl_X(A) \) se tiene que \( B(y,r)-\{y\}\cap A\neq \emptyset \). Es decir existe \( a\in A \), tal que \( 0<d(y,a)=d_Y(y,a)<r \). Por tanto \( a\in B_Y(y,r) \) pero eso contradice que \( B_Y(y,r)\subset Y-A \).

Te falta ahora ver que si \( A=B\cap Y \) con \( B \) cerrado en \( X \) entonces \( A \) es cerrado en \( Y \).

Saludos.