Autor Tema: Propiedad de cerradura de un conjunto.

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07 Junio, 2020, 12:14 am
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ASamuel

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Hola que tal amigos, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:

Tengo que demostrar lo siguiente:
Pruebe que si \( A \) es abierto en un espacio métrico \( (X,d) \) y \( B \) cualquier subconjunto de \( X \) entonces:

\( \overline{ A \cap \bar{B}}=\overline{ A \cap B}  \).

He demostrado que \( \overline{ A \cap B} \subset \overline{ A \cap \bar{B}} \) y se que \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \bar{B} \), pero la contención que me cuesta es \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \overline{ A \cap B} \)

Donde \( \overline{U} \) denota la clausura de \( U \)

Podría ayudarme a concluir el ejercicio por favor.
Gracias.

07 Junio, 2020, 12:16 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Tengo que demostrar que \( \overline{ A \cap \bar{B}}=\overline{ A \cap B}  \).

Es que la igualdad es falsa. Considerá \( \mathcal{U}=\{1,2\} \) y los conjuntos \( A=\{1\} \) y \( B=\{2\} \).

¿Está bien copiado el enunciado?

Saludos

07 Junio, 2020, 07:22 am
Respuesta #2

ASamuel

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¿Está bien copiado el enunciado?

Ya lo he editado, una disculpa, muchas gracias de antemano.

07 Junio, 2020, 01:51 pm
Respuesta #3

Gustavo

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Hola.

He demostrado que \( \overline{ A \cap B} \subset \overline{ A \cap \bar{B}} \) y se que \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \bar{B} \), pero la contención que me cuesta es \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \overline{ A \cap B} \)

Toma un \( x\in \overline{A\cap \overline B} \). Hay que mostrar que \( U\cap (A\cap B)\neq \emptyset \) para cualquier abierto U que contenga a x. Tomemos un abierto U así.

Como x está en la clausura de \( A\cap \overline B \), existe un \( y\in A\cap \overline B \) tal que \( y\in (A\cap \overline B)\cap U \). Como \( y\in \overline B \) y \( U\cap A \) es un abierto que contiene a \( y \), se tiene que \( (U\cap A)\cap B\neq \emptyset \).

Ya lo he editado, una disculpa, muchas gracias de antemano.

Por favor no modifiques tus mensajes sin dejar claro los cambios que has hecho.

07 Junio, 2020, 06:03 pm
Respuesta #4

ASamuel

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Toma un \( x\in \overline{A\cap \overline B} \). Hay que mostrar que \( U\cap (A\cap B)\neq \emptyset \) para cualquier abierto U que contenga a x. Tomemos un abierto U así.


Disculpa, como es que con mostrar que \( U\cap (A\cap B)\neq \emptyset \) podemos deducir o argumentar que \( \overline{ A \cap \bar{B}} \subset \overline{ A \cap B} \)


Por favor no modifiques tus mensajes sin dejar claro los cambios que has hecho.


Muy bien, muchas gracias, no sabía eso.

07 Junio, 2020, 06:29 pm
Respuesta #5

ASamuel

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Ya me ha quedado claro. Muchas gracias.