Autor Tema: Transformación lineal

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06 Junio, 2020, 10:14 pm
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Quema

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a) Sea \( T:R^3\rightarrow{}R^2:T(x,y,z)=(x,x+y) \)
b) Sea \( T:R^3\rightarrow{}R:T(x,y,z)=2x+3y+z \)
c) Sea \( T:R^2\rightarrow{}R^2:T(x,y)=(x+y,2x+y) \)

Me piden hallar el núcleo, la imagen y sus respectivas bases de estas transformaciones lineales. 


06 Junio, 2020, 10:21 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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a) Sea \( T:R^3\rightarrow{}R^2:T(x,y,z)=(x,x+y) \)
b) Sea \( T:R^3\rightarrow{}R:T(x,y,z)=2x+3y+z \)
c) Sea \( T:R^2\rightarrow{}R^2:T(x,y)=(x+y,2x+y) \)

Me piden hallar el núcleo, la imágen y sus respectivas bases de estas transformaciones lineales.

Son problemas rutinarios conociendo la teoría previa. ¿En qué paso te has atascado?

06 Junio, 2020, 10:36 pm
Respuesta #2

Quema

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a) En el primero, el núcleo me da que \( \textrm{Nu }T=\left\{{(x,y,z):x=0,y=0}\right\} \), pero la base no puede ser el vector \( (0,0) \) pues es LD. Y la imagen cómo se pone formalmente, la base de la imagen me da \( \left\{{(1,1),(0,1)}\right\} \) que tiene dimensión 2, la dimensión del núcleo es cero?
b) Cómo es la imagen formalmente y su base ya que la imagen tiene que ser 2x+3y+z=a\in{}R.
c) Y la imagen al escalerizar me da -2a+b=-1, no debería ser igual a cero?





06 Junio, 2020, 11:06 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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a) En el primero, el núcleo me da que \( NT=\left\{{(x,y,z):x=0,y=0}\right\} \), pero la base no puede ser el vector \( (0,0) \) pues es LD. Y la imagen cómo se pone formalmente, la base de la imagen me da \( \left\{{(1,1),(0,1)}\right\} \) que tiene dimensión 2, la dimensión del núcleo es cero?

El núcleo está formado por los vectores de la forma \( (0,0,\lambda)=\lambda (0,0,1) \) con \( \lambda\in\mathbb{R} \) por tanto una base del núcleo es \( \left\{{(0,0,1)}\right\} \). La base del imagen es correcta.

b) Cómo es la imagen formalmente y su base ya que la imagen tiene que ser 2x+3y+z=a\in{}R.

Todo \( a\in \mathbb{R} \) es de la forma \( a=T(0,0,a)\in \text{Im }T \), es decir \( \text{Im }T=\mathbb{R} \) y por tanto una base de  \( \text{Im }T \) es \( \left\{{1}\right\} \).

c) Y la imagen al escalerizar me da -2a+b=-1, no debería ser igual a cero?

Veamos, todo vector de la imagen es de la forma \( T(x,y)=(x+y,2x+y)=x(1,2)+y(1,1) \). Esos dos vectores generan a la imagen y son L.I. por tanto forman base de la imagen (que es en este caso \( \mathbb{R}^2 \)).