Autor Tema: Diagonalización

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06 Junio, 2020, 08:33 pm
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krovarck

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Hola a todos. Necesito ayuda con este Ejercicio.

Tengo que saber si la matriz A  de  de orden 3 es diagonalizable con polinomio caracteriztico: \( p(m)=-m^3 +2m^2 \)
y subespacios propios son : \(  \color{red}S =\{(x,y,z)\in{}\Bbb R^3| x-2z=0\}\color{black} \wedge W =gen{(1,2,1)} \)

Y si es diagonalizable indicar la matriz P y la matriz D tales que \( \color{red}P^{-1}\color{black}AP = D \)

Ayuda!
Mil gracias.

CORREGIDO

06 Junio, 2020, 09:19 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola a todos. Necesito ayuda con este Ejercicio.

Tengo que saber si la matriz A  de  de orden 3 es diagonalizable con polinomio caracteriztico: \( p(m)=-m^3 +2m^2 \)
y subespacios propios son : \(  S  {(x,y,z)}\in{}R3| x-2x=0 \wedge W =gen{(1,2,1)} \)


De momento, si no me equivoco con el polinomio característico, tienes autovalores +2 y 0; tendrás que ver la multiplicidad geométrica de cada autovalor.

Luego, este subespacio... \( x-2x=0
  \),  ¿es con esas letras? Porque eso es directamente \( x=0 \).

Saludos.

06 Junio, 2020, 10:16 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
y subespacios propios son : \(  S  {(x,y,z)}\in{}R3| x-2x=0 \wedge W =gen{(1,2,1)} \)

Creo que deberías revisar el enunciado.

07 Junio, 2020, 08:34 pm
Respuesta #3

krovarck

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Hola a todos. Necesito ayuda con este Ejercicio.

Tengo que saber si la matriz A  de  de orden 3 es diagonalizable con polinomio caracteriztico: \( p(m)=-m^3 +2m^2 \)
y subespacios propios son : \(  S  {(x,y,z)}\in{}R3| x-2x=0 \wedge W =gen{(1,2,1)} \)


De momento, si no me equivoco con el polinomio característico, tienes autovalores -2 y 0; tendrás que ver la multiplicidad geométrica de cada autovalor.

Luego, este subespacio... \( x-2x=0
  \),  ¿es con esas letras? Porque eso es directamente \( x=0 \).

Saludos.
Hola perdon.
Es x-2z=0

07 Junio, 2020, 10:03 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Hola perdon. Es x-2z=0

Una base del subespacio \( S \) es \( \left\{{(0,1,0),(2,0,1)}\right\} \) y una de \( W \) es \( \left\{{(1,2,1)}\right\} \) los valores proios son \( 0 \) doble y \( 2 \) simple con autoespacios asociados \( S \) y \( W \) respectivamente. Por el teorema fundamental de diagonalización, \( A \) es diagonalizable y una matriz pedida es aquella cuyas columnas son los respectivos vectores propios: \( P=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{2}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix} \) y se verifica \( P^{-1}AP=\text{diag }(0,0,2) \).

\( P^1(A la menos uno, no me deja ponerle negativo)AP = D \)

Si tecleas [tex]P^{-1}[/tex] obtendrás \( P^{-1} \).

08 Junio, 2020, 10:04 am
Respuesta #5

feriva

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Hola a todos. Necesito ayuda con este Ejercicio.

Tengo que saber si la matriz A  de  de orden 3 es diagonalizable con polinomio caracteriztico: \( p(m)=-m^3 +2m^2 \)
y subespacios propios son : \(  S  {(x,y,z)}\in{}R3| x-2x=0 \wedge W =gen{(1,2,1)} \)


De momento, si no me equivoco con el polinomio característico, tienes autovalores -2 y 0; tendrás que ver la multiplicidad geométrica de cada autovalor.

Luego, este subespacio... \( x-2x=0
  \),  ¿es con esas letras? Porque eso es directamente \( x=0 \).

Saludos.
Hola perdon.
Es x-2z=0


Vale. Entonces es la ecuación de un plano; con dos parámetros obtienes las paramétricas:

\( x=\lambda
  \); \( y=\beta
  \); \( z=\dfrac{\lambda}{2}
  \); es el vector \( (\lambda,\beta,\dfrac{\lambda}{2})
  \).

Haciendo alfa 2 y beta cero tienes el representante (2,0,1) y haciendo lambda cero y beta 1 el (0,1,0); que son los que te ha dado Fernando.

Si junto con el vector de W formas una matriz y hallas el determinante ves que es distinto de cero y ya sólo con eso tienes que los tres son linealmente independientes, lo que implica que sea diagonalizable. Con esos vectores tienes la matriz P y su inversa (hallándola).

Al ser diagonalizable, la matriz diagonal es una matriz que tiene los autovalores en la diagonal y sus otros elementos son cero.

Saludos.

09 Junio, 2020, 05:19 pm
Respuesta #6

krovarck

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Hola a todos. Necesito ayuda con este Ejercicio.

Tengo que saber si la matriz A  de  de orden 3 es diagonalizable con polinomio caracteriztico: \( p(m)=-m^3 +2m^2 \)
y subespacios propios son : \(  S  {(x,y,z)}\in{}R3| x-2x=0 \wedge W =gen{(1,2,1)} \)




De momento, si no me equivoco con el polinomio característico, tienes autovalores -2 y 0; tendrás que ver la multiplicidad geométrica de cada autovalor.

Luego, este subespacio... \( x-2x=0
  \),  ¿es con esas letras? Porque eso es directamente \( x=0 \).

Saludos.
Hola perdon.
Es x-2z=0


Vale. Entonces es la ecuación de un plano; con dos parámetros obtienes las paramétricas:

\( x=\lambda
  \); \( y=\beta
  \); \( z=\dfrac{\lambda}{2}
  \); es el vector \( (\lambda,\beta,\dfrac{\lambda}{2})
  \).

Haciendo alfa 2 y beta cero tienes el representante (2,0,1) y haciendo lambda cero y beta 1 el (0,1,0); que son los que te ha dado Fernando.

Si junto con el vector de W formas una matriz y hallas el determinante ves que es distinto de cero y ya sólo con eso tienes que los tres son linealmente independientes, lo que implica que sea diagonalizable. Con esos vectores tienes la matriz P y su inversa (hallándola).

Al ser diagonalizable, la matriz diagonal es una matriz que tiene los autovalores en la diagonal y sus otros elementos son cero.

Saludos.

Hola, gracias.
Entonces la matriz D seria \begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}?

09 Junio, 2020, 06:35 pm
Respuesta #7

feriva

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Hola, gracias.
Entonces la matriz D seria \begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{2}\end{bmatrix}?

Sí, así o con el 2 arriba; depende de cómo coloques los vectores de la base para que \( PDP^{-1} \) sea la matriz semejante dada; pero en este caso creo que da igual, porque no te la dan.

Saludos.