Autor Tema: Validez de argumento en una cuadrática

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06 Junio, 2020, 07:25 am
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thadeu

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Hola a todos en el rincon matemático
Se considera \( f(x)=ax^2+bx+c \) donde \( a<b \) y \( f(x)\geq{0} \) para todo real \( x \).
Encuentre el menor valor posible de
\( p=\frac{a+b+c}{b-c} \)

Mi argumento
Ya que \( f(x)\geq{0} \) para todo x entonces en particular para \( x=1 \) tendremos
\( f(1)=a+b+c\geq{0} \) y como \( b-a>0 \)
Entonces  \( p=\frac{a+b+c}{b-c}\geq{0} \)  la igualdad se alcanza cuando \( x=1 \)
 
Quisiera saber si mi argumento está completa.
Básicamente la duda está en lo breve que  resulto resolverlo
Saludos.

06 Junio, 2020, 08:32 pm
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Si analizamos \(  f(x)=0 \)  vemos que


\( b=\dfrac{-ax^2-c}{x} \)


si \( x \) tiende a \( -\infty \)  \( b \) tiene que tender a \( \infty \) para para que un decremento de \( x \) no provoque  que\(  f(x) \) sea menor que cero.


si \( x \) tiende a \( \infty \)  \( b \) tiene que tender a \( -\infty \) para para que un incremento de \( x \)
no provoque  que\(  f(x) \) sea menor que cero.

Luego \( b \) solo puede ser 0 para que tal situcion no ocurra \( b=0 \)

de modo que ahora\( f(x)=0=ax^2+c \)


en el caso de que \( x=1 \) siempre debe ocurrir que   \( a\geq -c \)

como \( a<0=b \) y \( c\geq|a|>0 \)

entonces
 
\( p=\dfrac{a+c}{-c}=\color{blue}\dfrac {-a}c \color{black}-1
 \)


si \( c>0 \) y \( a<0 \) entonces el mayor valor al que puede aspirar \( p \) es \( p_{max}=\color{red}\cancel{-1}\color{blue} 0 \)



Pero por las dudas que haya cometido algún error en mi lógica, espera nuevos aportes que lo confirmen o no. Saludos
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

08 Junio, 2020, 10:22 am
Respuesta #2

thadeu

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Hola Richard
Lo que tu has encontrado es el máximo  y lo que pide el problema es el minimo
Saludos y gracias por darte el tiempo.

08 Junio, 2020, 03:21 pm
Respuesta #3

geómetracat

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No entiendo ninguna de las soluciones. Entiendo que el problema es, de entre todos los polinomios que cumplen las condiciones pedidas ver cuál es el valor mínimo de \( p \). En particular el valor de \( x \) no afecta para nada.

Por otro lado, esto:
Luego \( b \) solo puede ser 0 para que tal situcion no ocurra \( b=0 \)
es falso. Por ejemplo, el polinomio \( f(x)=x^2 +2x+1 = (x+1)^2 \geq 0 \) y \( 2>1 \) luego cumple las condiciones pedidas y \( b \neq 0 \).

Esto está mal, no hay mínimo:
Spoiler
A mí me sale que el valor mínimo posible es \( -1 \) pero nunca se alcanza. Considerando los polinomios \( f_c(x) = x^2 + 2\sqrt{c}x + c \) que cumplen las condiciones pedidas para \( c > 1/4 \), obtenemos
\( p = \frac{1+2\sqrt{c} + c}{2\sqrt{c}-c} \to -1 \) cuando \( c \to + \infty \).

Luego pongo el razonamiento.
[cerrar]

Añadido:

Voy a poner  el razonamiento que he seguido, aunque una vez se ve que no hay mínimo, se puede dar la familia de polinomios del final directamente.
Por un lado, si tiene que ser \( f(x) \geq 0 \) para todo \( x \) debenos tener que \( a>0 \) y el discriminante del polinomio debe ser menor o igual que \( 0 \): \( b^2-4ac \leq 0 \).
Sin pérdida de generalidad podemos suponer \( a=1 \), pues si multiplicamos todos los coeficientes por el mismo valor positivo \( p \) se queda igual. Ahora tenemos \( 0 < b^2 \leq 4c \), luego \( c>0 \), y como \( b>0 \), tenemos \( b \leq 2 \sqrt{c} \). En definitiva, tenemos que minimizar:
\( p = \frac{1+b+c}{b-c} \)
sometido a las restricciones \( 1<b \leq 2 \sqrt{c} \) y \( c>0 \). Para cualquier valor de \( c \) fijado, tenemos que:
\( \frac{\partial p}{\partial b} = \frac{-1-2c}{(b-c)^2} < 0 \). Luego para cada \( c \) fijo el mínimo se alcanza para el mayor valor posible de \( b \), que por las restricciones que tenemos es \( b=2\sqrt{c} \).
Ahora queda:
\( p=\frac{1+2\sqrt{c} + c}{2\sqrt{c}-c} \), y basta con minimizar esta expresión.
Pero como \( \displaystyle \lim_{c \to 4^+} p = -\infty \), tenemos que tomando valores de c tan próximos a \( 4 \) por la derecha como queramos podemos hacer \( p \) arbitrariamente pequeño, de forma que no tiene mínimo.
Los polinomios \( f_\epsilon(x)=x^2 + 2\sqrt{4+\epsilon}x + 4+\epsilon \) para \( \epsilon>0 \) arbitrario cumplen las condiciones pedidas y \( p  \) tiende a \( -\infty \) cuando \( \epsilon \to 0^+ \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Junio, 2020, 05:38 pm
Respuesta #4

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Hola geometracat, me parecía que no había cota inferior para p , pero jugando con las formular  hallé el máximo  no el mínimo como propone el problema.
Por el resto de la deducción si ya erre de base, para que seguir debatiendo, gracias...
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

08 Junio, 2020, 07:29 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Máximo tampoco hay: te puedes ir acercando por abajo a \( 4 \) con los polinomios \( f_\epsilon(x)=x^2+2\sqrt{4-\epsilon}x+4-\epsilon \) con \( \epsilon>9 \) y cuando \( \epsilon \to 0^+ \), \( p \to +\infty \).

De hecho es un poco raro, porque tienes el polinomio \( f(x)=x^2+4x+4 = (x+2)^2 \) que cumple las condiciones pedidas pero \( p \) no está definido.

Esto me hace pensar si no habrá una errata en el enunciado y el denominador de \( p \) será \( b-a \) en lugar de \( b-c \). De esta manera también le vería más sentido a la condición \( b>a \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Junio, 2020, 11:39 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Esto me hace pensar si no habrá una errata en el enunciado y el denominador de \( p \) será \( b-a \) en lugar de \( b-c \). De esta manera también le vería más sentido a la condición \( b>a \).

De hecho creo que thadeu acabó resolviéndolo como si el denominador fuese \( b-a \):

Ya que \( f(x)\geq{0} \) para todo x entonces en particular para \( x=1 \) tendremos
\( f(1)=a+b+c\geq{0} \) y como \( b-a>0 \)
Entonces  \( p=\frac{a+b+c}{b-c}\geq{0} \)
  la igualdad se alcanza cuando \( x=1 \)

Aun así, aun con ese denominador, el fallo de thadeu está en la frase: "la igualdad se alcanza cuando \( x=1 \)", que no tiene demasiado sentido. Si se alcanzase la igualdad debería de hacerse tomando un polinomio concreto que de lugar a unos coeficientes \( a,b,c  \)concretos, no un valor concreto de \( x \).

Suponiendo que se trata de minimizar:

\( F(a,b,c)=\dfrac{a+b+c}{b-a} \)

se puede razonar así. Dado que \( f(x)\geq 0 \) para todo \( x \) se tiene que \( a\geq 0 \) y \( b^2\leq 4ac. \)

Dado que el numerador y denominador de la fracción a minimizar son homogéneos de grado \( 1 \), podemos tomar \( a=1 \) y \( b=a+t \) con \( t>0 \).

Entonces \( b^2\leq 4ac \) corresponde a \( c\geq \dfrac{(1+t)^2}{4} \).

De ahí:

\( F(1,1+t,c)=\dfrac{2+t+c}{t}=1+\dfrac{2+c}{t}\geq 1+\dfrac{2+\dfrac{(1+t)^2}{4}}{t}=1+\dfrac{9+2t+t^2}{4t}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4t}+\dfrac{t}{4} \)

Minimizando en una variable positiva, el mínimo se alcanza para \( \color{red}t=3\color{black} \).

Queda:

\( F\geq \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}+\color{red}\dfrac{3}{4}=3\color{black} \)

Se alcanza por ejemplo para \( a=1 \), \( b=4 \) y \( c=4 \), es decir,\(  f(x)=\color{red}x^2+4x+4=(x+2)^2\color{black} \).

Saludos.

P.D. Revisa las cuentas.

CORREGIDO

09 Junio, 2020, 12:29 am
Respuesta #7

geómetracat

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Pues sí, es verdad que thadeu parece que asuma que el denominador es \( b-a \) a pesar de escribir dos veces \( b-c \).

Hay un par de errores en las cuentas: el mínimo se alcanza para \( t=3 \) y da \( F \geq 3 \).

Curiosamente, el mínimo se alcanza en el mismo polinomio en que explotaba el denominador antes, es decir, se da cuando \( b=c=4a \) (para el polinomio \( x^2+4x+4=(x+2)^2 \) o cualquier múltipo positivo suyo).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

09 Junio, 2020, 05:31 am
Respuesta #8

thadeu

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Efectivamente el error  es mio en el enunciado \( p \) deberia ir  con denominador \( b-c \) mil disculpas en lo posterior tratare de que no vuelva a ocurrir
Gracias  a todos por su paciencia  y tiempo.

09 Junio, 2020, 09:46 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Pues sí, es verdad que thadeu parece que asuma que el denominador es \( b-a \) a pesar de escribir dos veces \( b-c \).

Hay un par de errores en las cuentas: el mínimo se alcanza para \( t=3 \) y da \( F \geq 3 \).

Si, ¡gracias!. Ya lo he corregido.

Efectivamente el error  es mio en el enunciado \( p \) deberia ir  con denominador \( b-c \) mil disculpas en lo posterior tratare de que no vuelva a ocurrir

Supongo que quieres decir que en el enunciado debería de ir el denominador \( b-a \).

Saludos.