Autor Tema: Grupo fundamental

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05 Junio, 2020, 07:04 pm
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Azahara

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Como puedo probar que si la figura en ocho tuviese grupo fundamental abeliano entonces \( \pi_1 (X,x_0) \) sería abeliano para todo espacio \( X \).

05 Junio, 2020, 08:05 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Es un ejercicio un tanto raro, pues te piden probar una implicación donde la hipótesis es falsa.

Una idea sería como sigue. Considera \( [\alpha],[\beta] \in \pi_1(X,x_0) \). Entonces hay que ver que \( [\alpha]*[\beta] = [\beta]*[\alpha] \).
Considera la aplicación \( f=\alpha \vee \beta: S^1 \vee S^1 \to X \) que es \( \alpha \) en el primer \( S^1 \) y \( \beta \) en el segundo \( S^1 \). Esta aplicación induce una entre los grupos de homotopía. Pero si denotas \( [c_1],[c_2] \in \pi_1(S^1 \vee S^1, p_0) \) las clases de homotopía del loop que da una vuelta al primer \( S^1 \) (respectivamente al segundo \( S^1 \)), tienes que \( f_*([c_1])=\alpha, f_*([c_2])=\beta \). Y ahora: \( [\alpha]*[\beta] = f([c_1]*[c_2]) = f([c_2]*[c_1]) = [\beta]*[\alpha] \) donde hemos usado la hipótesis de que \( S^1 \vee S^1 \) tiene grupo fundamental abeliano y por tanto \( [c_1]*[c_2] = [c_2]*[c_1] \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)