Autor Tema: Suma de distribuciones.

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04 Junio, 2020, 05:04 pm
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MAgha

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Hola,
una pregunta standard que me suelo encontrar y nunca sé resolver es la siguiente,
Sea \( (x_i)_{i=1}^n \) una colección de variables aleatorias idénticamente distribuidas(por ejemplo, una m.a.s) hallar la distribución de,
I) \( \sum_{i=1}^{n}x_i \)
II) \( \sum_{i=1}^{n}|x_i| \)
No sé sí el caso general es resoluble o son necesarias condiciones específicas, pero quería saber sí existe algún procedimiento más o menos standard que intentar.
Un saludo.

04 Junio, 2020, 05:24 pm
Respuesta #1

pierrot

  • pabloN
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Primero que nada, basta con saber calcular la distribución de \( X_1+X_2 \) y la de \( |X_1|+|X_2| \) ya que en el caso general, puedes aplicar la fórmula para dos de forma inductiva.

Para hallar \( Y=X_1+X_2 \), tienes la fórmula de la convolución:

\( F_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty F_{X_1}(y-t)F_{X_2}(y)dt \)

Para el caso de valores absolutos, basta tener en cuenta que \( F_{|X|}(x)=P(|X|\leq x) \) y esto es 0 si \( x<0 \) o \( P(-x\leq X\leq x) \) si \( x\geq 0 \).
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04 Junio, 2020, 10:57 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Añado que en el caso de que las variables aleatorias sean discretas con soporte \( \mathbb N  \) entonces a veces se puede utilizar la función generatriz de probabilidad para hallar la distribución conjunta. La función generatriz de probabilidad de una variable aleatoria \( X:\Omega \to \mathbb N  \) viene dada por \( \phi _X(z):=\sum_{k\geqslant 0}\Pr [X=k] z^k \), entonces si \( X_1,\ldots ,X_n \) son independientes con soporte en \( \mathbb N  \) tenemos que

\( \displaystyle{
\phi_{X_1+\ldots +X_n}(z)=\prod_{k=1}^n \phi _{X_k}(z)
} \)

Entonces por ejemplo si \( X_k\sim \operatorname{Binomial}(p,m) \) entonces \( \phi _{X_k}(z)=((1-p)+pz)^m \) para \( k \in\{1,\ldots,n\} \), y por tanto \( \phi _{X_1+\ldots +X_n}(z)=((1-p)+pz)^{nm} \), es decir que \( X_1+\ldots +X_n\sim \operatorname{Binomial}(p,nm) \). Este método es útil especialmente cuando las variables aleatorias (con soporte en \( \mathbb N  \)) tienen función generatriz de probabilidad cerrada, es decir, que pueden expresarse con una forma algebraica sencilla sin necesidad de la serie de potencias.

04 Junio, 2020, 11:29 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Para complementar lo que dice Masacroso, en el caso continuo (también sirve en general) puedes usar también la función característica, que viene a ser una transformada de Fourier. Si son independientes, de nuevo la función característica de la suma es el producto de las funciones características individuales. Y una vez tienes la función característica de la suma puedes usar una fórmula de inversión para encontrar la densidad de la suma (o si eres capaz de identificar la función característica de la suma como la de una distribución conocida, ya sabes qué distribución tiene la suma).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)