Autor Tema: Región crítica

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03 Junio, 2020, 08:20 pm
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S@lvador

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Me pueden ayudar con este problema  :banghead:

Suponga que \( X_1 \) y \( X_2 \) son variables aleatorias de una población con función de densidad de probabilidad

\( f(x;\theta)=\theta x^{\theta-1} \)

si \( 0<x<1 \), donde \( \theta>0 \) es desconocido. Para contrastar las hipótesis \( H_0:\theta = 1 \) vs. \( H_\alpha: \theta = 2 \) se considera la región crítica

\( \mathcal{C}=\left\{(x_1,x_2)|(x_1,x_2)\in (0,1)\times (0,1), x_1x2_2\geq \dfrac34 \right\} \)


  • Muestre que el tamaño de la prueba es \( \alpha=\frac14+\frac34\log(\frac34) \)

  • Muestre que la potencia de la prueba en \( \theta=2 \) es \( \theta=\frac7{16}+\frac98\log(\frac34) \)

Editado por la moderación

03 Junio, 2020, 09:43 pm
Respuesta #1

geómetracat

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¿Dónde tienes problemas, qué has intentado?
¿Sabes plantear el problema? Es decir, ¿sabes qué es el tamaño y la potencia del test pero tienes problemas al calcular la probabilidad, o no sabes por dónde empezar?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Junio, 2020, 12:52 am
Respuesta #2

S@lvador

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¿Dónde tienes problemas, qué has intentado?
¿Sabes plantear el problema? Es decir, ¿sabes qué es el tamaño y la potencia del test pero tienes problemas al calcular la probabilidad, o no sabes por dónde empezar?

No veo por donde empezar, honestamente,

04 Junio, 2020, 01:04 am
Respuesta #3

geómetracat

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Bien, te dejo unas indicaciones. Para el primer apartado, debes tener en cuenta que el tamaño del test es lo mismo que el error de tipo I, es decir, la probabilidad de rechazar \( H_0 \) suponiendo que \( H_0 \) es verdadera. Como la hipótesis nula se rechaza si la muestra observada está en la región crítica, tenemos:
\( \alpha = P((x_1,x_2) \in C | H_0) = P((x_1,x_2) \in C | \theta = 1) \).
Para calcular esto, fíjate que la función de densidad conjunta de \( X_1 \) y \( X_2 \) es el producto de las densidades individuales (porque se supone que son independientes e idénticamente distribuidas, aunque el enunciado no diga nada). Si sustituyes \( \theta=1 \) te da que \( f(x_1,x_2) = f(x_1)f(x_2)=1 \), para \( 0<x_1,x_2<1 \). Por tanto se trata de calcular la probabilidad \( P((x_1,x_2) \in C) \) usando la densidad constante \( 1 \), que es lo mismo que calcular el área de la región crítica. Para ello hazte un dibujo y usa una integral doble.

El apartado b es parecido. Aquí debes calcular la potencia para \( \theta=2 \), que es la probabilidad de rechazar \( H_0 \) suponiendo que la hipótesis alternativa es cierta.
Es decir, se trata de calcular \( P((x_1,x_2) \in C | \theta=2) \). El cálculo es muy parecido al del primer apartado, solo que ahora la función de densidad ya no es constante.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)