Autor Tema: Subgrupos: Cardinalidad de HK

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02 Junio, 2020, 10:12 pm
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Bolzanito

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hola que tal
necesito ayuda desde grupos, con una demostración y con un ejemplo, la verdad que nose no sé por muy bien por donde arrancar

Sea H y K subgrupos finitos de un grupo (G,.). Probar que \(  \left |{H.K}\right |=\left |{H}\right |. \left |{K}\right | / \left |{H\cap{K}}\right | \)

Tengo que H y K son subgrupos  de G, es por ello que es cerrado, tiene neutro e inverso.
al ser finito pienso que el cardinal de H es h y el cardinal de K es k, es decir \( \left |{H}\right |=h   y  \left |{K}\right |=k \)
luego no sé como continuar...
Agradecería ayuda

02 Junio, 2020, 10:52 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea H y K subgrupos finitos de un grupo (G,.). Probar que \(  \left |{H.K}\right |=\left |{H}\right |. \left |{K}\right | / \left |{H\cap{K}}\right | \)

Tengo que H y K son subgrupos  de G, es por ello que es cerrado, tiene neutro e inverso.
al ser finito pienso que el cardinal de H es h y el cardinal de K es k, es decir \( \left |{H}\right |=h   y  \left |{K}\right |=k \)
luego nose como continuar...

Define:

\( f:H\times K\to HK,\qquad f(h,k)=hk \)

Es claramente sobreyectiva. Ahora para cada \( hk\in HK \) calcula el cardinal de \( f^{-1}(hk) \).

\( (h',k')\in f^{-1}(hk)\iff h'k'=hk\iff h^{-1}h'=kk'^{-1}=t\in H\cap K\iff (h',k')=(ht,t^{-1}k) \) con \( t\in H\cap K \)

Concluye...

Saludos.

03 Junio, 2020, 02:57 am
Respuesta #2

Bolzanito

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muchas gracias, intento terminar, si me surgen dudas, vuelvo a consultar

07 Junio, 2020, 09:38 am
Respuesta #3

Bolzanito

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Vuelvo a molestar.
Si H y K son subgrupos de G finitos. Por teorema de Lagrange podemos decir que el orden de H divide a G y lo mismo pasa con K.
Además La intersección \( H\cap{}K \) sería subgrupo de H y K. Por lo tanto el orden de esa intersección divide tanto al orden de H y K. Estoy en lo cierto?
Se puede ir por este Camino?
O necesariamente se debe ir por el que indicaste antes?

08 Junio, 2020, 10:30 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Vuelvo a molestar.
Si H y K son subgrupos de G finitos. Por teorema de Lagrange podemos decir que el orden de H divide a G y lo mismo pasa con K.
Además La intersección \( H\cap{}K \) sería subgrupo de H y K. Por lo tanto el orden de esa intersección divide tanto al orden de H y K. Estoy en lo cierto?
Se puede ir por este Camino?
O necesariamente se debe ir por el que indicaste antes?

Lo que dices es cierto hasta ahí, ¿pero cómo continuarías?.

Saludos.