Autor Tema: Duda conceptual cambio de variables

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31 Mayo, 2020, 11:44 am
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Bobby Fischer

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Hola,

Según el teorema del cambio de variables (todo esto explicado grosso modo y en dimensión \( 2 \) por ejemplo), si tengo las variables \( (X,Y) \) definidas en un abierto \( A \) de \( \mathbb{R}^2 \), una función biyectiva de \( A \) en otro abierto \( B \), \( g:(X,Y)\to (U,V) \) y las derivadas parciales de \( g^{-1} \) existen y son continuas, puedo calcular la función de densidad \( f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(g^{-1}(u,v))\cdot |\det Jg^{-1}| \).

Este es caso de la función de densidad \( f_V(v)=e^{-v}\chi_{(0,\infty)}(v) \) si \( V=-\ln Y \). En tal caso, el dominio de \( V \) se transforma en \( (0,1) \) para \( Y \), y aplicando el teorema a \( f_V \) quedaría \( f_{-\ln Y}(y)=y\, \chi_{(0,1)}(y) \), que habría que multiplicar por el valor absoluto de la derivada de \( g^{-1}(y)=-\ln y \), que es \( \dfrac{1}{|y|} \). Y efectivamente, \( f_{-\ln Y}=\chi_{(0,1)} \), es decir, \( -\ln Y\sim U(0,1) \)

AHORA por qué cuando se tiene e.g. \( h(x)=\cos(x^2) \) y se hace el cambio de variable \( t=x^2 \), y se obtiene \( h(\sqrt{t}) \) (que en definitiva es una función de \( t \)), \( h(t)=\cos(t) \), no hay que multiplicar por el valor absoluto del jacobiano.

31 Mayo, 2020, 05:51 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No entiendo la pregunta. Más concretamente, no entiendo el ejemplo del párrafo final. ¿\( h(x)=cos(x^2) \) es la función de densidad de alguna variable aleatoria \( X \) (definida en un intervalo donde integre a \( 1 \)) y quieres hacer un cambio de variable aleatoria \( T=X^2 \)?
Porque entonces sí que hace falta multiplicar por el jacobiano, aunque hay que ir con cuidado porque según el intervalo que tomes la aplicación de cambio de variable no es biyectiva.

Pero no tengo claro que sea eso lo que preguntas, no sé.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Mayo, 2020, 08:39 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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No, es totalmente independiente. Me refería a que no entiendo por qué son situaciones distintas. No consigo distinguirlas. Por qué en un caso se multiplica por el valor absoluto del jacobiano y en la otra no.

No sé si me explico.

31 Mayo, 2020, 09:34 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Ah, creo que ya te entiendo. Supongo que quieres decir que por qué cuando haces un cambio de variable aleatoria no haces un simple cambio de variable en la función de densidad, sino que hay que multiplicar por el Jacobiano.

Lo explico en un caso sencillo, que se verá mejor.
Imagina que haces un cambio de variable aleatoria \( Y=X^3 \). Lo que quieres decir con eso en realidad es que para todo conjunto (medible) \( A \),
\( P(Y \in A) = P(X^3 \in A) \).

En realidad, para variables aleatorias reales basta pedir que:
\( P(Y \in (-\infty,a]) = P(X^3 \in (-\infty,a])) \)
para todo \( a \in \Bbb R \).
Pero \( P(X^3\in (-\infty,a]) = P(X \in (-\infty, a^{1/3}]) \). Por tanto tenemos que para todo \( a \) se debe cumplir la igualdad:
\( P(Y\in(-\infty,a]) = P(X \in (-\infty,a^{1/3}]) \).

Si \( X,Y \) son ambas absolutamente continuas con funciones de densidad \( f_X,f_Y \), esa igualdad se puede escribir como:
\( \int_{-\infty}^a f_Y(y) dy = \int_{-\infty}^{a^{1/3}} f_X(x) dx \).

Si ahora derivas ambos lados respecto a \( a \) te queda:
\( f_Y(a) = f_X(a^{1/3})(a^{1/3})' \)
que es la fórmula usual, multiplicada por la derivada.
Una manera equivalente de verlo es pensar que lo que haces no es un cambio de variable en la función de densidad, sino un cambio de variable en una integral, lo que por la fórmula del cambio de variable hace que te aparezca el jacobiano.

Pero igualmente, estas fórmulas tienen restricciones (la transformación debe ser biyectiva, las variables aleatorias deben ser absolutamente continuas, etc). Lo que siempre es cierto es la igualdad de probabilidades del principio, que es precisamente lo que quiere decir el cambio de variable aleatoria.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Mayo, 2020, 11:07 pm
Respuesta #4

Bobby Fischer

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Gracias por resolverme la duda. Quizá diese vueltas demasiado grandes cuando la expuse al principio.

Esta cuestión era importante.

Saludos.