¡Buenas!
Me he encontrado en un libro con un sistema dinámico bastante curioso (muy similar al del resorte no lineal en Física) que viene dado por
\( \begin{pmatrix}{\dot{x_1}}\\{\dot{x_2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_2}\\{-x_2-h(x_1)}\end{pmatrix} \)
siendo \( h \) una función "pasiva", según la denomina. Es decir, es de clase \( \mathcal{C}^1 \) y cumple que, para \( x>0 \) es positiva, para \( x<0 \) es negativa y para \( x=0 \) es \( h(0)=0 \).
Se pretende estudiar la estabilidad del origen, y para ello define una función auxiliar de Lyapunov dependiente de un cierto parámetro \( \alpha>0 \).
Mi duda es que dice sin más que la función
\( V_{\alpha}(x_1, x_2) = \frac{1}{2} (x_1, x_2)^{T} \begin{pmatrix}{\alpha}&{\alpha}\\{\alpha}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix} + \int_0^{x_1} h(\sigma) d\sigma \)
es positiva en todo el plano real \( \mathbb{R}^2 \), pero yo no termino de ver por qué esto es así.
Desde luego, si \( 0<\alpha<1 \), entonces la forma cuadrática es definida positiva y sí. Si \( \alpha=0 \) se recupera la función del resorte no lineal, y si \( \alpha=1 \) también es positiva para cualquier par \( (x_1, x_2) \neq (0,0) \). Ahora bien, no soy capaz de probar que para un \( \alpha>1 \) se verifica \( V_{\alpha}(x_1, x_2)>0 \).
¿Alguien sabría por qué es así? A lo mejor no lo estoy enfocando bien o me estoy perdiendo algo.
Un saludo y muchas gracias.
