Autor Tema: Función de densidad

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30 Mayo, 2020, 11:06 am
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Bobby Fischer

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Hola,

Sea \( (X,Y) \) un vector aleatorio con función de densidad: \( f(x,y)=3x^2y^3 I_A(x,y) \), siendo \( A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0<xy<1, 0<y<1\} \)
¿Cómo se calcula la función de densidad marginal \( f_X(x) \)?
\( f_X(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \), pero no consigo entender la intersección con el recinto de la función indicadora.

30 Mayo, 2020, 11:11 am
Respuesta #1

geómetracat

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Tienes que mirar, para cada \( x \) fijo, cuál es el intervalo de variación de \( y \). Lo mejor es hacerse un dibujo: la densidad \( f \) es no nula para los puntos que se encuentran entre el eje de abscisas y la curva \( y=1/x \) (y con \( 0 < y < 1 \), claro).

Lo del spoiler no está bien, ver los otros mensajes.
Spoiler
Es decir, que para un \( x \) fijado, \( y \) varía entre \( 0 \) y \( 1/x \), luego:
\( f(x) = \int_0^{\frac{1}{x}} 3x^2y^3 dy \)
[cerrar]
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Mayo, 2020, 12:38 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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¿Entonces habría que diferenciar dos casos: \( 0<x<1 \) y \( 1\leq x<\infty \)? Haciéndolo así he comprobado que efectivamente, la suma de las integrales \( \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{3x^2}{4}dx \) y \( \displaystyle\int_{1}^\infty \dfrac{3}{4x^2}dx \)
Entiendo que \( f_X(x)=\dfrac{3x^2}{4}I_{(0,1)}(x)+\dfrac{3}{4x^2}I_{[1,\infty)} \)

Muchas gracias, esta duda que tenía era importante.

Saludos.

30 Mayo, 2020, 01:32 pm
Respuesta #3

geómetracat

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¡Perdón, leí mal el.enunciado!

Sí, es como tu dices, hay que separar casos.
La región tiene dos condiciones: \( 0 < xy < 1 \) y \( 0 < y < 1 \). La primera la puedes reescribir como \( 0< y < 1/x \) (ya que \( x \) no puede ser \( 0 \)). Y ahora puedes escribir estas dos condiciones como \( 0 < y < min(1,1/x) \).
De manera que si \( 0<x\leq 1 \) debes integrar entre \( 0 \) y \( 1 \), y si \( x \geq 1 \) debes integrar entre \( 0 \) y \( 1/x \).

La función marginal da lo que pones.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Mayo, 2020, 01:46 pm
Respuesta #4

Bobby Fischer

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Y ahora estoy viendo que para la función de distribución de \( Y \) condicionada a \( X \) también habría que diferenciar dos casos: \( f_{Y|X}(y)=\begin{cases}4y^3I_{(0,1)}(y) & \text{si} & x\in (0,1)\\ 4x^4y^3 I_{(0, 1/x)}(y) & \text{si} & x \in [1,\infty)\end{cases} \)

¿De manera que la esperanza condicionada sería \( E(Y|X=x)=\begin{cases}\dfrac{4}{5} & \text{si} & x\in (0,1)\\ \dfrac{4}{5x} & \text{si} & x \in [1,\infty)\end{cases} \)

Sigue habiendo apartados posteriores en el ejercicio que no tengo claros.

Porque ahora me preguntan hallar la curva de regresión de \( Y \) sobre \( X \). Supongo que si es correcto lo de arriba, entonces habría que considerar una curva de regresión por intervalos también?

Edit: No te preocupes, no necesito ayuda inmediata. Puedo esperar.

30 Mayo, 2020, 02:35 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Yo lo veo todo bien. La curva de regresión es básicamente la esperanza condicionada, así que en este caso queda una curva definida a trozos. (Otra cosa sería la recta de regresión, que esa sí que es siempre una recta.)
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Mayo, 2020, 02:51 pm
Respuesta #6

Masacroso

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Hola,

Sea \( (X,Y) \) un vector aleatorio con función de densidad: \( f(x,y)=3x^2y^3 I_A(x,y) \), siendo \( A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0<xy<1, 0<y<1\} \)
¿Cómo se calcula la función de densidad marginal \( f_X(x) \)?
\( f_X(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \), pero no consigo entender la intersección con el recinto de la función indicadora.

También se puede intentar descomponer la función indicatriz en suma y/o producto de funciones indicatrices más simples, entonces

\( \displaystyle{
I_A(x,y)=I_{(0,1)}(y)I_{(0,1)}(xy)=I_{(0,1)}(y)I_{(0,x^{-1})}(y)=I_{(0,\min\{1,x^{-1}\})}(y)
} \)

Eso te lleva a diferenciar dos regiones de integración, dependiendo de si \( x \) es mayor a uno o no.

30 Mayo, 2020, 03:11 pm
Respuesta #7

Bobby Fischer

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Muchas gracias!

30 Mayo, 2020, 07:47 pm
Respuesta #8

Bobby Fischer

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Dos dudas más: expongo la primera.
Me dicen comprobar que \( E(E(Y|X))=E(Y) \)
Resulta que \( E(Y|X) \) es una variable aleatoria "a intervalos" según se entiende de \( E(Y|X=x)=\begin{cases}\dfrac{4}{5} & \text{si} & x\in (0,1)\\ \dfrac{4}{5x} & \text{si} & x \in [1,\infty)\end{cases} \).
Sin embargo, \( E(Y) \) según los cálculos da \( 1 \). ¿Aquí qué ha pasado?

30 Mayo, 2020, 09:48 pm
Respuesta #9

geómetracat

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\( E(Y|X) \) es una variable aleatoria que es función de la variable aleatoria \( X \). Por tanto puedes calcular su esperanza igual que la dd cualquier función de \( X \):
\( E(E(Y|X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} E(Y|X=x)f_X(x)dx = \int_0^1 \frac{4}{5}\frac{3x^2}{4} dx + \int_1^{+\infty} \frac{4}{5x} \frac{3}{4x^2} dx = \frac{1}{2} \).

Por otro lado, a mí me da \( E(Y)= \frac{1}{2} \).

Añadido: Ahora he visto tus cálculos. Está bien: \( f_Y(y)=I_{(0,1)} \), pero ahora:
\( E(Y)= \int_0^1ydy= \frac{1}{2} \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Mayo, 2020, 01:04 am
Respuesta #10

Bobby Fischer

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Gracias!

La última cuestión era en relación al teorema del cambio de variables, pero creo que la he conseguido resolver.