Autor Tema: Principio del Máximo

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30 Mayo, 2020, 10:26 am
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gtilef

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Hola, propongo el siguiente problema para resolver:

Probar que si u es armónica en \( \mathbb{C} \) y satisface \( \lim_{z\rightarrow\infty}u(z)=0 \), entonces es idénticamente nula en \( \mathbb{C} \). ¿Qué se puede afirmar si u es armónica en \( \mathbb{C} \) y satisface \( \lim_{z\rightarrow\infty}u(z)=1 \)?

30 Mayo, 2020, 11:06 am
Respuesta #1

geómetracat

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Solamente tienes que ver que la función alcanza su mínimo o su máximo en \( \Bbb C \) y aplicar el principio del máximo.

Supón que \( u \) no fuera la función constante \( 0 \). Entonces existe un \( p \in \Bbb C \) con \( u(p) \neq 0 \). Supongamos que \( u(p)>0 \) (si \( u(p)<0 \) es parecido). Como \( \displaystyle \lim_{z \to \infty} u(z)=0 \), tienes un \( R>0 \) tal que \( |u(z)| < u(p) \) para todo \( |z| > R \). Ahora bien, como \( u \) es continua en el disco cerrado centrado en el origen de radio \( R \), alcanza su máximo en el disco, digamos en \( p' \). Entonces, como \( u(p')\geq u(p) \), tienes que \( u(p') \) también es mayor que \( u(z) \) para todo \( |z|>R \). En definitiva, \( u \) alcanza su máximo en \( p' \), y ya puedes aplicar el principio del máximo.

Para el segundo, observa que \( u -1 \) es una función armónica en \( \Bbb C \) con límite en el infinito \( 0 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Mayo, 2020, 10:01 pm
Respuesta #2

gtilef

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Hola, muchas gracias por tu comentario.
He tratado de probarlo de la siguiente forma:
Como \( \lim_{z\to\infty}u(z)=0 \) entonces por la definición de límite se tiene que \( \forall \varepsilon>0:\exists\delta>0:\hspace{2mm}Si\hspace{2mm}z>\delta\Rightarrow |u(z)-0|<\varepsilon\Rightarrow |u(z)|<\varepsilon \)
entocnes tenemos que \( |u(z)|\leq\varepsilon \) en \( \partial D(0,\delta) \). Aplico el principio del máximo que da:
\( |u(z)|\leq\varepsilon\hspace{4mm}z\in D(0,\delta) \)
y como esto tambien se daba fuera del disco entonces
\( |u(z)|\leq\varepsilon\hspace{4mm}z\in\mathbb{C} \)
Pero como \( \varepsilon>0 \) arbitrario, entonces u=0 en todo el plano.

30 Mayo, 2020, 10:07 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Salvo porque te has dejado un valor absoluto en la definición del límite (debería ser \( |z| > \delta \)), yo lo veo perfecto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Mayo, 2020, 10:14 pm
Respuesta #4

gtilef

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Cierto. Muchas gracias.

30 Mayo, 2020, 10:24 pm
Respuesta #5

gtilef

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Ahora que pienso mejor, el límite me da la desigualdad estricta \( |u(z)|<\varepsilon \) ¿como obtengo \( |u(z)|\leq \varepsilon \)?

30 Mayo, 2020, 10:49 pm
Respuesta #6

geómetracat

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¿Por qué has borrado el mensaje? Lo he vuelto a poner. No borres mensajes, porque si no el hilo queda descontextualizado.

Si para \( |z|>\delta \) tienes \( |u(z)|<\epsilon \), entonces en la frontera del disco de radio \( \delta \), es decir, para \( |z|=\delta \), debes tener \( |u(z)|\leq \epsilon \), por la continuidad de \( u \) (si tuvieras \( |u(z)| > \epsilon \) para algún \( |z|=\delta \) entonces usando la continuidad tendrías puntos con \( |z|>\delta \) con \( |u(z)|>\epsilon \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Mayo, 2020, 12:34 am
Respuesta #7

gtilef

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De acuerdo, gracias.