[RodriStone]

Hola Buenas, les traigo estos problemas, los cuales me están poniendo los pelos de punta.



i) Probar que, \( \forall n\in \Bbb N,\quad n\geq 2 \) el producto de matrices en \( \Bbb K^{n\times n} \) no es conmutativo.

ii) Caracterizar el conjunto \( \{A\in \Bbb K^{n\times n}|AB=BA,\quad \forall B\in \Bbb K^{n\times n}\}. \)

Para el inciso i) , pensé en una inducción a partir de j=2 , ese caso base salió bien, para el paso inductivo, no sé cómo seguir (acepto spoilers  )
Para el inciso 2 ,no sé cómo empezar, intente "jugar" con las matrices escalares, pero no llegue a nada.
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[feriva]

\(  \)Hola Buenas, les traigo estos problemas, los cuales me están poniendo los pelos de punta

Para el inciso i) , pensé en una inducción a partir de j=2 , ese caso base salió bien, para el paso inductivo, no sé cómo seguir (acepto spoilers  )
Para el inciso 2 ,no sé cómo empezar, intente "jugar" con las matrices escalares, pero no llegue a nada.

Hola.

Para el primero se me ocurre que te puede bastar con un un contraejemplo

\( \left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 2\\
1 & 2
\end{array}\right)
  \)

\( \left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
3 & 1\\
1 & 1
\end{array}\right)
  \)

Luego ya no es cierto en general que se dé la conmutativa.

Para el 2º se me ocurre que busques en internet “matrices semejantes”.

\( AB=BA
  \)

\( ABB^{-1}=BAB^{-1}
  \)

\( AI=BAB^{-1}
  \)

\( A=BAB^{-1}
  \)

En los casos en que B tiene inversa, es la matriz de paso; haciendo B=P, y ocurre que \( A=PAP^{-1}
  \)...

Saludos.

[geómetracat]

Para el primero tienes que encontrar, en cada dimensión, dos matrices \( A,B \) que no conmuten. feriva te ha dado un ejemplo en dimensión \( 2 \), pero mi consejo para encontrar contraejemplos en cualquier dimensión es usar matrices con muchos ceros y algún uno. Por ejemplo, piensa en contraejemplos usando matrices elementales (las que son todas cero excepto en una posición que tienen un uno).

El segundo es parecido. Te piden encontrar las matrices que conmutan con todas las demás. Como creo que has intuido, la respuesta son las matrices escalares (múltiplos de la identidad). Para demostrarlo, supón que \( A \) no es escalar. Entonces tienes \( A_{ij} \neq 0 \) para algún \( i \neq j \). Ahora busca una matriz elemental con la que \( A \) no conmute.

[RodriStone]

Gracias a ambos , me metí en un problema más áspero y solo se trataba de trabajar con la definición formal del producto de matrices!!!!!

Muchísimas gracias