Autor Tema: Espacios compactos

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29 Mayo, 2020, 06:45 am
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Steven_Math

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Buenas noches, he estado resolviendo el siguiente ejercicio:

Sea \( f:X \to Y \)  entre dos espacios topológicos donde \( Y \) es de Hausdorff.
 
\( (a) \) Muestre que si \( f \) es continua, entonces el grafo de f.
                                                  \( G_f=\{x\times f(x) \ : \ x\in X\},  \)
es un conjunto cerrado en  \( X\times Y  \).

 \( (b) \) Suponga que \( Y \) es, además, compacto. Si el grafo de \( f \) es un conjunto cerrado en  \( X\times Y \), entonces \( f \) es continua.

\( (c) \)  Dé un ejemplo de una función  \( f: X\to Y  \) con \( Y \) espacio de Hausdorff y \( f  \) no continua, cuyo grafo es cerrado.

Ya demostré los puntos \( (a) \) y \( (b) \)y para el inciso \( (c)  \) consideré \( \mathbb{R} \) con la topología usual y la función \( f:  \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por:
\( f(x)=\begin{cases}{0}&\text{si}& x=0\\\frac{1}{x} & \text{si}& x\neq 0\end{cases} \)
Claramente \( f \) no es continua, pero me falta demostrar que el grafo de \( f \) 
\( G_f=\{x\times f(x) \ : \ x\in \mathbb{R}=\{0\times 0\}\cup\{x\times \frac{1}{x} \ : \ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\} \)
es cerrado.
 Traté de escribir: \( M=\{x\times \frac{1}{x} \ : \ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\} \) como \( \{x\times y \ : \ xy=1\} \) 
  para que el grafo de \( f \) sea cerrado debe ocurrir que   \( \{0\times 0\} \) y \( M \) son cerrados, ¿Cómo verifico esto?

29 Mayo, 2020, 08:48 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Traté de escribir: \( M=\{x\times \frac{1}{x} \ : \ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\} \) como \( \{x\times y \ : \ xy=1\} \) 
  para que el grafo de \( f \) sea cerrado debe ocurrir que   \( \{0\times 0\} \) y \( M \) son cerrados, ¿Cómo verifico esto?

Que el punto \( \{(0,0)\} \) es cerrado, supongo que no tiene duda: lo es por ejemplo porque \( \Bbb R^2 \) es Hausdorff o lo puedes probar a mano viendo que su complementario es abierto.

En cuanto a \( M \), definie la función continua:

\( g:\Bbb R^2\to \Bbb R,\qquad g(x,y)=xy-1 \)

Tienes que \( \{0\} \) es cerrado en \( \Bbb R \) y entonces \( M=g^{-1}(\{0\}) \) es cerrado por ser la imagen recíproca de un cerrado por una función continua.

Además la unión de un número finito de cerrados es cerrada.

Saludos.