Define \( v(x,y)=u(x,-y) \). Entonces:
$$ \Delta v(x,y)=(\Delta u)(x,-y)=0, \;\;\; (x,y)\in D:=D(0,1) $$
$$ v(x,y)|_{\partial D}=u(x,-y)|_{\partial D}=f(x,-y), \;\;\; (x,y) \in \partial D$$
Define ahora \( F(x,y)=u(x,y)+v(x,y) \). Derivando otra vez, \( F \) es solución:
$$ \Delta F(x,y)=0, \;\;\; (x,y)\in D$$
$$ F(x,y)|_{\partial D}=f(x,y)+f(x,-y)=0, \;\;\; (x,y) \in \partial D$$
La solución constante \( 0 \) es solución a este problema, y por unicidad:
$$ 0=F(x,y)=u(x,y)+u(x,-y) $$
Tomando \( y=0 \) obtenemos que:
$$ u(x,0)=0 $$