Autor Tema: Ajuste de la binomial a la normal

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26 Mayo, 2020, 09:58 pm
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Palote

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¡Hola a todos!

Estoy haciendo un problema de Matemáticas de 2º de Bachillerato en el que, partiendo de una distribución binomial, \( B(100;01) \) me piden la probabilidad de que la variable sea estrictamente menor que 2, \( P(x<2) \)
Si lo hago aplicando la distribución binomial obtendría:
\( P(x<2)=P(x=0)+P(x=1)=0,9^\left\{{100}\right\}+10·0,1·0,9^\left\{{99}\right\}=0,00032 \)

En cambio, si aproximo la distribución a una normal \( N(np; \sqrt[ ]{npq}) \), quedaría \( N(10;3) \), por lo que:
\( P(x<2)=P(x'\leq{1,5})=P(z\leq{\frac{1.5-10}{3}})=0.0023 \)

¿Cómo es posible que la diferencia sea tan grande? ¿Qué estoy haciendo mal?

Por otro lado, me surge la siguiente duda: Si en la binomial, la variable es siempre positiva, ¿no tendría sentido calcular \( P(-0.5<x'<1.5) \) al ajustar a la normal? Numéricamente la diferencia es ridícula, claro.

Lo pienso en los problemas en los que piden, por ejemplo, la probabilidad en la que haya menos de un número determinado, n, de productos defectuosos, ¿No sería más correcto calcular \( P(0\leq{}x<n) \), en lugar de \( P(x<n) \), dado que la variable no puede ser negativa?

Perdonad por la forma en la que he puesto los exponentes no controlo nada Latex.

Gracias de antemano por vuestra ayuda.

26 Mayo, 2020, 11:04 pm
Respuesta #1

Masacroso

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No lo he revisado todo pero en principio la corrección por continuidad, para aproximar una binomial por una normal, es sumándole 1/2, no restándoselo, es decir, deberías calcular \( P(x'< 2+1/2) \). Mira aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Correcci%C3%B3n_por_continuidad

CORRECCIÓN: ah, qué despiste. Como dice geometracat más abajo el cálculo está bien.

26 Mayo, 2020, 11:47 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Los cálculos están bien (aunque tienes una errata en el cálculo de \( P(x=1) \), has puesto \( 10 \) en lugar de \( 100 \)).

La corrección por continuidad también está bien. Sería \( P(x' < 2 + 1/2) \) si la probabilidad pedida fuera \( P(x\leq 2) \), pero es \( P(x<2) = P(x \leq 1) \).

Habría que mirar algún resultado asintótico que te diera alguna cota para el error. Pero creo recordar que el error es peor en los extremos, si calcularas algo como \( P(x \leq 50) \) seguramente el error (relativo) sería menor.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Mayo, 2020, 09:05 am
Respuesta #3

Palote

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Muchas gracias por las respuestas.
¿y respecto a la segunda pregunta? Cuando piden probabilidad de que  la variable sea menor que un valor determinado, ¿no sería más correcto limitarse a los valores positivos?
Entiendo que el resultado es prácticamente el mismo y quizá al ser una aproximación no tiene mucho sentido ser tan riguroso, ¿pero conceptualmente no sería más correcto?
Gracias por compartir vuestros conocimientos.
Un saludo,

27 Mayo, 2020, 07:48 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Creo que el motivo es el que apuntas: en los rangos en que la aproximación es válida, la diferencia es despreciable, y además hay que tener en cuenta que antes había que usar tablas (ahora con los ordenadores ya da lo mismo), así que es más cómodo considerar toda la cola.

A nivel teórico habría que ver cuál es mejor aproximación considerando los términos de error. Incluso podría pasar que en algunas situaciones fuera mejor aproximación una manera y en otras otra, pero la verdad es que no lo sé.

De todas formas, hay que recordar que toda discrepancia (al igual que la necesidad de las correcciones de continuidad) viene de aplicar un resultado asintótico, válido en el límite cuando \( n \to \infty \), a situaciones con \( n \) finito (y muchas veces relativamente pequeño).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)