Autor Tema: Duda familia compactas

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25 Mayo, 2020, 11:54 am
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Azahara

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Buenos días,
Siendo \(  f  \) una función entera no constante. Para \(  \alpha >0 \) , siendo \(  f_{\alpha}(z) = f(\alpha z) \). 
Como puedo determinar si son relativamente compactas en \(  \mathcal{H}(\mathbb{C})  \), las familias
\( F_1 = \{f_{\alpha} : \alpha \in \mathbb{N}\}  \) , y \(  F_2 = \{f_{\alpha} : \alpha \in [0, 4]\}  \).

Alguna indicación de como hacerlo sería de gran ayuda. Muchas gracias por la atención.
Un saludo.

26 Mayo, 2020, 02:51 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. Si puedes usar el teorema de Montel, lo que hay que hacer es estudiar si las familias son localmente acotadas. Por ejemplo, para \( F_2 \) y un conjunto compacto \( K\subseteq \mathbf C \) cualquiera, considera un compacto \( K' \) tal que \( K' \supseteq \{tz:t\in [0,4],z\in K\} \). ¿Qué puedes decir de \( f \) sobre \( K' \)? Para \( F_1 \), recuerda que no hay funciones enteras acotadas distintas a las constantes.

26 Mayo, 2020, 09:19 pm
Respuesta #2

Azahara

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Llegamos a que \(  f  \) está acotada en  \(  K'  \) se puede observar si tomamos \(  K=B(0,r) \) , en este caso tendiramos que \(  K'  = B(0, 4r)  \) y \(  f  \) está acotada por ser una función entera.
¿Con eso bastaría?

26 Mayo, 2020, 10:05 pm
Respuesta #3

Gustavo

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El problema es que K no tiene por qué ser un disco centrado en el origen ya que es un compacto arbitrario. Pero sí usa que f es acotada en K'. Eso implica que todas las \( f_\alpha\in F_{\color{red}2} \) están acotadas en K por una misma cota.