Autor Tema: Relación entre varianza de la suma y suma de las varianzas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Mayo, 2020, 01:14 am
Leído 107 veces

razielcero

  • Junior
  • Mensajes: 66
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos!

Debo resolver el siguiente ejercicio: los valores de la variable A se obtienen de la suma de los valores de las variables X y Y. Demostrar que la varianza de A puede ser mayor, menor o igual que la suma de las varianzas de X y Y

Y ya desde ahí el enunciado me genera confusión. Pues para mi resulta un poco evidente que la varianza de una variable (entendida como un número positivo) tiene que ser mayor, menor o igual que otro número cualquiera. Es decir, creo que es algo obvio al menos en la forma en que está escrita  ??? ???

Ahora bien, he iniciado de todos modos a hacer algo de trabajo algebraico y me he propuesto desarrollar la siguiente inecuación:

\(  s^2_{A} > s^2_{X} + s^2_{Y} \)

He utilizado la definición de varianza, algunas simplificaciones, etc. Pero a la final, no tengo claro a qué cosa tengo que llegar en esa expresión para mostrar que la desigualdad es cierta y bajo qué condición  :-\

Por otra parte, estuve leyendo que la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas solamente cuando las variables X y Y son independientes, pero no entiendo cómo incorporar ese hecho a las fórmulas  :-\

Finalmente, también me queda otra duda, debo asumir que las variables X y Y ambas tienen la misma cantidad de datos, de lo contrario no se podría resolver...??

Agradezco cualquier orientación al respecto!!  :)

24 Mayo, 2020, 01:45 am
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,682
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si \( A = X + Y \) entonces tienes que:
\( V(A) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y) \) (supongo que conoces esta fórmula, en caso contrario es fácil de obtener teniendo en cuenta que \( V(A)=Cov(A,A) \) y usando las propiedades de la covarianza).

De aquí puedes ver lo que te piden, pues la covarianza de dos variables aleatorias puede ser negativa, positiva o 0.

Si las variables son independientes su covarianza es 0 y la fórmula de arriba se reduce a la suma de varianzas, así que el resultado que mencionas es un caso particular de la fórmula general.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Mayo, 2020, 05:31 am
Respuesta #2

razielcero

  • Junior
  • Mensajes: 66
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias geómetracat!

No tenía presente la igualdad que mencionaste, con ella todo fue mucho más sencillo de ver!  ;)