Autor Tema: Derivadas

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06 Mayo, 2020, 06:30 am
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carixto

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Hola
Traigo esto,espero me puedan ayudar
Sea [texx] B \subset{} \mathbb{R}^2[/texx] el anillo dado por [texx] B=[(x,y) \in \mathbb{R}^2 \wedge a^2<x^2+y^2<b^2] [/texx] con [texx] 0<a<b [/texx], vale decir un anillos de bordes circulares concéntricos centrados en el origen.
Se plantea el problema elíptico de valor de frontera definido por dadas:[texx]p,q:[0,2\pi] \rightarrow{} \mathbb{R}[/texx] ambas continuas, se quiere encontrar [texx]u:B\rightarrow \mathbb{R} [/texx] de clase [texx] C^2(B,\mathbb{R}) [/texx] solución del problema
[texx] \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}+\frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2 }}=0[/texx] interior de B                                                               1
[texx] u=p(\theta)[/texx] cuando [texx]x^2+y^2=a^2 [/texx]                    
[texx] u=q(\theta) [/texx] cuando [texx]x^2+y^2=b^2 [/texx]

Usando la separación de variables, demuestre que la solución del problema está dada por:
[texx] u(r,\theta)=1/2(C_0+D_0ln(r))+ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty (C_ir^i+D_ir^{-i}) \cos(i\theta)+ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty (B_ir^i+A_ir^{-i}) \sen(i\theta)[/texx]                2
Pásele a polares y suponga la solución del tipo [texx]u(r,\theta)=R(r)\alpha(\theta) [/texx]
Saludos