[Luckdevil]

Consiste en teniendo N, hallar \( \sqrt[]{N} \), e intentar aproximarlo a un numero entero (en principio por debajo). Me explico con un ejemplo:
N=57
\( \sqrt[ ]{57} \)=7,54..
Lo aproximo eligiendo un numero que me convenga, en este caso 5 y lo hago de la siguiente forma:
\( \sqrt[ ]{57*5} \)=16,88... (Esto es bastante proximo para este caso) mi nuevo numero sera 57*5.
Ahora nos basamos en \( x^2-y^2=N \) (Con esta expresion se pueden conseguir todos los numeros impares, los primos solo de una forma(x e y consecutivos) , los no primos de mas formas, esto creo que ya lo explique por ahi con una tabla).
Ahora comprendereis lo que estoy intentando hacer:
\( \sqrt[ ]{x^2-57*5}=y \)
Con la aproximacion he consegido 2 cosas, la primera hacer que y sea pequeño y la segunda añadir un factor conocido al numero que queria factorizar, asi que cuando \( x^2 \) sea mayor que 57*5, estaremos en valores en los que y puede existir como entero, continuo con la razon principal de añadir el numero conocido:
Por aproximacion jugando con x obtengo:
\( \sqrt[ ]{17^2-57*5}=2 \)
Ahora tengo que 17+2=19 y 17-2=15
Claramente 57*5 queda descompuesto como 19*15 y ahora conocemos N*5=19*15 ecuacion sencilla donde las halla (N=19*3).
Como siempre esta en pruebas, si \( \sqrt[ ]{N} \) ya hubiese sido cercano a un numero por debajo (no quiero complicar con otros casos), no hubiese echo falta el numero de correcion puesto que la diferencia entre sus factores ya seria pequeño, dando como resultado un y tambien pequeño.
Pstd: N=t*z podria haber quedado descompuesto en t*z, esto podria ser por elegir mal el numero por lo que hace falta que se entienda lo que se hace, tambien podriamos haber añadido mas numeros y usar por ejemplo en lugar de N*5, podriamos usar N*3 o N*3*7
No me alargo mas porque la idea ya esta lanzada.
Aun lo he probado poco, no se sus debilidades, por ejemplo para N=21631, necesito llegar a que su margen sea mas pequeño para aproximarlo mejor y necesitaria multiplicar por 21 es decir 3*7, la solucion da 21631*7*3=679*669, en este caso, uno sera /3; 669/3=223 y otro entre 7; 679/7=97, haciendo que 21631=223*97
(valdria para hallar primos? Supongo que desarrollandolo un poco... Se podria probar)

Añadidos(curiosidades):
Que pasa cuando en una ecuacion de segundo grado ponemos b=-(x+y) y c=x*y?
Otra que os hara pensar, 17*23-7*13=30*10, caso en el que 23-17=13-7, (30=17+13=23+7, 10=17-7=30-23)
Y con esto hasta la proxima (haber si lo ajusto un poco)

[Luckdevil]

Me he dado cuenta de que algunas cosas del primer mensaje estan mal pero lo dejo asi por ahora, en realidad lo que hay que conseguir es que N se pueda descomponer de forma que sea una multiplicacion de dos numeros cercanos, por ejemplo, para valores grandes vienen bien numeros como el 45 porque aumenta las posibilidades de que N*45=x*y*45 se pueda descomponer de muchas formas (3*x,15y), (15*x,3y), (9*x,5*y), (5*x,9*y)... y en alguna de ellas es mas probable que al hacer la resta entre el primer de sus factores y el segundo, esta resta sea menor relativamente con respecto a los cuadrados que operararan en la formula.

Quiero comentar otra cosa que es interesante y tampoco he jugado mucho con ella(no lo he comprobado pero parece que funciona), es parte de la reflexion del ultimo de los añadidos del mensaje anterior:
31*31-(8*8+16+1)=40×22
En este caso el 31 es el punto medio entre 22 y 40, y 8 esta relacionado con su diferencia 2*(8+1)=40-22, el 16 es simplemente el doble de 8, el 1 es siempe 1.

Dado un N impar cualquiera (digo cualquiera pero recuerdo que estoy mirando \( impar^2-par^2 \), lo que vale solo para los (N-1)/4=entero, si no recuerdo mal), repito, dado N impar cualquiera, se podria hallar la factorizacion? (N"-"1, partir N en producto de dos pares y jugar con la formula)
Esto ya lo dejo para otro dia