Autor Tema: Resolviendo el problema de Dirichlet en regiones "complicadas"

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Mayo, 2020, 02:40 am
Leído 242 veces

FerOliMenNewton

  • Aprendiz
  • Mensajes: 220
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, estas semanas he estado leyendo un poco sobre el problema de Dirichlet y he leído en varios lados que conocer la solución en el círculo y el rectángulo es útil, porque así puedes hallar las solución en regiones más complicadas mapeando esas región complicada en el círculo o el rectágulo mediante ciertos mapeos especiales, sin embargo he estado buscando y no he visto ningún ejemplo, ¿saben dónde puedo encontrar uno concreto? Me ayudaría mucho. De antemano gracias.
Saludos.

02 Mayo, 2020, 12:26 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,675
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Ahora mismo no sé de ninguna referencia, pero me imagino que la idea es que si tienes un dominio simplemente conexo \( \Omega \) en el plano, y piensas el plano como \( \Bbb C \), por el teorema de Riemann existe una función biholomorfa  \( f \) que envía \( \Omega \) al disco. Ahora, si \( u \) es una función armónica en el disco, \( u \circ f^{-1} \) es una función armónica en \( \Omega \) (porque al ser \( u \) armónica, \( u \) es la parte real de una función holomorfa \( g \), luego \( u\circ f^{-1} = Re(g \circ f) \) es armónica por ser la parte real de una función holomorfa) y viceversa, toda función armónica en \( \Omega \) es de esa forma. Así pues si tienes resuelto el problema en el disco también lo tienes en \( \Omega \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

03 Mayo, 2020, 10:56 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

  • Aprendiz
  • Mensajes: 220
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias geómetracat :) , intentaré construir algún ejemplo siguiendo esas ideas.
Saludos :) .