Autor Tema: Encontrando una rama de logaritmo para la multiplicación de dos funciones.

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30 Abril, 2020, 01:44 am
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lindtaylor

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Sea \( f:G\to\mathbb{C} \) y\(  g:G\to\mathbb{C} \) ramas de \(  z^a \) y \(  z^b  \)respectivamente (el libro no lo dice, pero se debe suponer que \( f \) y \( g \) tienen la misma rama de logaritmo). Pruebe que  \( fg \) es una rama de \(  z^{a+b} \) y  \( f/g  \) es una rama de \(  z^{a-b} \). Suponga que \( f(G)\subset G  \)y \(  g(G)\subset G \) y pruebe que \( f\circ g  \) y \( g\circ f \) son ramas de \( z^{ab}. \)

Tengo unas pequeñas dudas para este problema. Tengo lo siguiente para la rama de \( z^{a+b} \).

Como \( f \) es rama de\(  z^{a} \) entonces \( f(z)=\exp(ah(z)) \) con \( h:G\to \mathbb{C} \) rama de logaritmo en \( G \). Análogamente \( g(z)=\exp(b h(z)) \). Se sigue
\( f(z)g(z)=\exp( ah(z))\exp(b h(z))=\exp(ah(z)+bh(z))=\exp((a+b)h(z))=z^{a+b}. \)
Por lo tanto

Mi duda es en la última igualdad, no sé si es posible hacer de inmediato que\(  \exp((a+b)h(z))=z^{a+b}. \). Sé que \( \exp((a+b)Log(z))=z^{a+b} \) de forma inmediata (El libro de Conway lo define así) con Log la rama principal de logaritmo pero no sé si con otra rama sucede lo mismo.

También, para probar que \(  f\circ g  \) es rama de \( z^{ab} \) en un paso tengo lo siguiente:
\( f(g(z))=\exp(a h(g(z))=\exp(ah(\exp(bh(z)))=\exp(abh(z))=z^{ab} \). En lo anterior, usé el sigueinte hecho  \(  h(\exp(z))=z \) con \( h \) una rama de logaritmo en G, pero desconozco si esto es posible. Solo sé que\(  \exp(h(z))=z \) en ese orden, pero al revés no sé si se podrá.
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