[FilippoLapi]

Buen día, tengo el siguiente problema que no sé cómo resolver y agradecería si alguien me puede ayudar; el mismo forma parte de la 3ra edición del libro Marsden Tromba "Calculo Vectorial", sección 4.5, problema 10.

La función de producción de una compañía es Q(x,y) = xy. El costo de producción es C(x,y) = 2x + 3y. Si esta compañía gasta C(x,y) = 10. ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede producir?

Desde ya, muchas gracias.

[delmar]

Hola

Por condición dada en el problema se tiene : \( 2x+3y=10\Rightarrow{y=\displaystyle\frac{10}{3}-\displaystyle\frac{2x}{3}} \); en consecuencia Q(x,y) se transforma en una función de una sola variable, x. El problema se reduce a encontrar el máximo de la función Q como función de una sola variable, x, observa que dicha función es derivable.


Saludos

[hméndez]

Hola  FilippoLapi

Posiblemente la solución que te apunta delmar sea la de tu interés, de todos modos aquí tienes otra usando medias (Mg-Ma):

\( \sqrt[ ]{2x\cdot{3y}}\leq{}\displaystyle\frac{2x+3y}{2}=\displaystyle\frac{10}{2} \)

\( \sqrt[ ]{6\cdot{}x\cdot{y}}\leq{}5 \)

\( x\cdot{}y\leq{}\displaystyle\frac{25}{6} \)

\( Qmax=\displaystyle\frac{25}{6} \)

Ocurre para \( 2x=3y=5\longrightarrow{}x=\displaystyle\frac{5}{2} \)  \(  y=\displaystyle\frac{5}{3} \)

Saludos

[FilippoLapi]

Muchas gracias delmar y hméndez por sus respuestas, me sirvieron mucho! Saludos.

[Ricardo Boza]

Hola,

Hola  FilippoLapi

Posiblemente la solución que te apunta delmar sea la de tu interés, de todos modos aquí tienes otra usando medias (Mg-Ma):

\( \sqrt[ ]{2x\cdot{3y}}\leq{}\displaystyle\frac{2x+3y}{2}=\displaystyle\frac{10}{2} \)

\( \sqrt[ ]{6\cdot{}x\cdot{y}}\leq{}5 \)

\( x\cdot{}y\leq{}\displaystyle\frac{25}{6} \)

\( Qmax=\displaystyle\frac{25}{6} \)

Ocurre para \( 2x=3y=5\longrightarrow{}x=\displaystyle\frac{5}{2} \)  \(  y=\displaystyle\frac{5}{3} \)

Saludos

Del binomio de Newton se puede comprobar que la desigualdad es cierta, ¿pero cómo asegurar que efectivamente se da la igualdad?

Tampoco entiendo el razonamiento que lleva a tomar \( 2x=3y=5 \), supongo que obedece a algún conocido método?

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que \( \sqrt{a \cdot b} = \dfrac{a+b}{2}  \) se da sólo si \(  a = b  \), con \(  a,b \in \mathbb{R}^+  \)
En este caso \( a = 2x  \) y \(  b = 3y  \)

[Ricardo Boza]

Gracias J. Pablo.

Saludos.