Autor Tema: Demostrar que n(n+1)(2n+1)/6 es entero

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26 Junio, 2018, 07:35 pm
Respuesta #10

manuel_david

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Llevas razón Luis...

Por cierto, una cosa más... ¿y no tendría que demostrar antes, por evidente que me pudiera parecer a mí, que A y B son equivalentes? Uno de mis grandes temores en las demostraciones es que no acabo de tener claro qué cosas hay que dar por sentadas y cuáles tengo que demostrar...

26 Junio, 2018, 07:39 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Llevas razón Luis...

Por cierto, una cosa más... ¿y no tendría que demostrar antes, por evidente que me pudiera parecer a mí, que A y B son equivalentes? Uno de mis grandes temores en las demostraciones es que no acabo de tener claro qué cosas hay que dar por sentadas y cuáles tengo que demostrar...

Es una propiedad bien conocida que si \( p,q \) son coprimos:

\( n \) divisble por \( pq \) es equivalente a \( n \) divisible por \( p \) y \( n \) divisible por \( q \)

Es fácil de demostar; no obstante probablemente (aunque eso depende mucho del contexo en el que te hayan propuesto el problema) sea razonable dar esa propiedad por conocida.

Saludos.

05 Julio, 2018, 08:52 pm
Respuesta #12

manuel_david

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¡¡ :aplauso:Muchas gracias!!

24 Julio, 2018, 12:08 pm
Respuesta #13

juan luis

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Para que un número sea divisible por 6, el dividendo tiene que ser necesariamente múltiplo de 2 y de 3. En nuestro caso \( n(n+1) \) genera números pares y \( (2n+1) \) genera números impares, pero su producto solo genera pares. Luego solo tenemos que demostrar que para cada valor de n, al menos una de las anteriores expresiones sea múltiplo de 3.
La expresión \( 2n+1 \) genera múltiplos de 3 para \( n=(1+3x) \)  sustituimos y tenemos \( 2(1+3x)+1=3(1+2x) \)
la expresión \( n(n+1) \) genera múltiplos de 3 para \( n=(2+3x) \) sustituyendo \( (2+3x)(2+3x+1)=9x^2+15x+6 \) que es divisible por 3.
También \( n(n+1) \) genera múltiplos de 3 para \( n=(3+3x) \)  sustituyendo \( (3+3x)(3+3x+1)=9x^2+21x+12 \) que tambien es divisible por 3.
Como \( (1+3x)= 1, 4, 7, 10, 13, ....... \)
         \( (2+3x)= 2, 5, 8, 11, 14, ....... \)
         \( (3+3x)= 3, 6, 9, 12, 15, ....... \)
como estas tres sucesiones contienen  cualquier valor que pueda tomar x, luego siempre una de las dos expresiones será multiplo de 3 con lo cual queda demostrado 

15 Abril, 2020, 12:51 am
Respuesta #14

manuel_david

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He tenido graves problemas familiares. Quería dar las gracias de todo corazón.

15 Abril, 2020, 07:26 pm
Respuesta #15

feriva

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He tenido graves problemas familiares. Quería dar las gracias de todo corazón.

Cuánto lo siento.

Un abrazo.