Para que un número sea divisible por 6, el dividendo tiene que ser necesariamente múltiplo de 2 y de 3. En nuestro caso \( n(n+1) \) genera números pares y \( (2n+1) \) genera números impares, pero su producto solo genera pares. Luego solo tenemos que demostrar que para cada valor de n, al menos una de las anteriores expresiones sea múltiplo de 3.
La expresión \( 2n+1 \) genera múltiplos de 3 para \( n=(1+3x) \) sustituimos y tenemos \( 2(1+3x)+1=3(1+2x) \)
la expresión \( n(n+1) \) genera múltiplos de 3 para \( n=(2+3x) \) sustituyendo \( (2+3x)(2+3x+1)=9x^2+15x+6 \) que es divisible por 3.
También \( n(n+1) \) genera múltiplos de 3 para \( n=(3+3x) \) sustituyendo \( (3+3x)(3+3x+1)=9x^2+21x+12 \) que tambien es divisible por 3.
Como \( (1+3x)= 1, 4, 7, 10, 13, ....... \)
\( (2+3x)= 2, 5, 8, 11, 14, ....... \)
\( (3+3x)= 3, 6, 9, 12, 15, ....... \)
como estas tres sucesiones contienen cualquier valor que pueda tomar x, luego siempre una de las dos expresiones será multiplo de 3 con lo cual queda demostrado
