Autor Tema: Probar que una función no está en L1

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23 Abril, 2020, 08:46 am
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FerOliMenNewton

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Hola :) , espero estén bien.
Consideremos la función
\(  f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} & \text{si}& x \in (0,1)\\0 & \text{}& \text{en otro caso}\end{cases} \)
Podrían darme alguna sugerencia de cómo probar que la transformada de \( f \) no pertenece a \( L_{1} \)?
Lo intenté por fuerza bruta, i.e , intentar calcular \( \widehat{f}(\xi) \) pero todo se reduce a la integral
\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{e^{-i \xi x}}{\sqrt{x}} dx \)
la cual evidentemente no resulta fácil de integrar, de hecho no tengo idea de cómo integrarla.
Luego intenté usar la fórmula de Plancherel para mostrar que \( \widehat{f}(\xi) \) no puede estar en \( L_{1} \), pero lo malo es que esa fórmula sólo es válida si \( f\in{L_{1}\cap{L_{2}}} \) el cual no es el caso.
De antemano muchas gracias.
 

28 Abril, 2020, 08:47 pm
Respuesta #1

FerOliMenNewton

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Creo que ya sé cómo proceder:
Primero hay  que observar que si tenemos una función \( f \)  tal que \( f \in L_{1} \) y \( f \) es acotada , entonces \( f \in L_{2} \).
Dicho esto, si tuviéramos que \( \hat{f} \in L_{1} \) entonces podríamos asegurar que \( f \) es acotada(se sigue del teorema de inversión de Fourier) y por tanto \( f \) estuviera en \( L_{2} \).
Sin embargo como puede verificarse por inspección \( f \) no está en \( L_{2} \), por ende \( \hat{f} \) no puede estar en \( L_{1} \).
Si alguien ve algo raro no dude en decirme. Saludos.

29 Abril, 2020, 08:39 pm
Respuesta #2

Masacroso

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 :aplauso: :aplauso: :aplauso:

Está bien pero el razonamiento se puede simplificar algo más: si sabemos que \( \mathcal{F}:L_1\to C_0,\, f\mapsto \hat f \), donde \( \mathcal{F} \) es la transformada de Fourier y \( C_0 \) el espacio de funciones continuas que se desvanecen en el infinito (y por tanto están acotadas), y \( f=\overline{\mathcal{F}}( \hat f) \), donde \( \overline{\mathcal{F}} \) es la cotransformada de Fourier, es imposible que \( \hat f\in L_1 \) ya que \( f\notin C_0 \).

01 Mayo, 2020, 05:32 am
Respuesta #3

FerOliMenNewton

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¡Es verdad! :D Gracias Masacroso :) .
Saludos.