Autor Tema: Duda sobre resolución de ecuación parcial usando transformada de Fourier

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23 Abril, 2020, 06:58 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos, espero estéis bien :) , estoy interesado en resolver la siguiente ecuación diferencial parcial
  \( x^{2} \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + ax \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial t}  \)                                                                               
con \( u(x,0)=f(x), \) para \( 0<x<\infty \) y \( t>0 \), usando la transformada de Fourier.
La sugerencia del libro es hacer el cambio de variable \( x=e^{-y} \) , intenté usar regla de la cadena pero las cuentas me quedan muy feas, a lo mejor estoy haciendo algo mal, podrían explicarme con más detalle cómo es que ese cambio de variable simplifica el problema por favor? De antemano muchas gracias. Saludos.

25 Abril, 2020, 05:49 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

La verdad es que esto de las ecuaciones en derivadas parciales lo tengo un tanto oxidado. No obstante, si no lo he refrescado mal, el cambio que en mi opinión parece que funciona es \( x=e^{-ay} \). De esta manera, si definimos \( v(y,t)=u(e^{-ay},t) \) se tiene, aplicando la regla de la cadena, que:

\( \displaystyle{\frac{{\partial v}}{{\partial t}}=\left(\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\right)_{x=e^{-ay}}} \)

\( \displaystyle{\frac{{\partial v}}{{\partial y}}=\left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\right)_{x=e^{-ay}}\cdot{(-ae^{-ay})}} \)

\( \displaystyle\frac{{\partial{}^2 v}}{{\partial y^2}}=-ae^{-ay}\frac{{\partial }}{{\partial y}}\left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\right)_{x=e^{-ay}}+a^2e^{-ay}\cdot{}\left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\right)_{x=e^{-ay}}=a^2e^{-2ay}\left(\frac{{\partial{}^2 u}}{{\partial x^2}}\right)_{x=e^{-ay}}+a^2e^{-ay}\cdot{}\left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\right)_{x=e^{-ay}}=\left(x^2\frac{{\partial{}^2 u}}{{\partial x^2}}+ax\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\right)_{e^{-ay}}=\left(\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\right)_{x=e^{-ay}} \)

Es decir, que:

\( \displaystyle\frac{{\partial^2 v}}{{\partial y^2}}=\frac{{\partial v}}{{\partial t}} \)

Espero que esté todo bien y que te sirva. Un saludo.

28 Abril, 2020, 08:40 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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