Autor Tema: Álgebra productos y cocientes notables

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23 Abril, 2020, 06:38 am
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Talento

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Hola a todos en el siguiente problema dice:

si: \( a^{101}=1, a\neq{1} \).

Hallar: \( \displaystyle\frac{a^3}{1+a}+\displaystyle\frac{a^6}{1+a^2}+\displaystyle\frac{a^9}{1+a^3}+\ldots+\displaystyle\frac{a^{300}}{1+a^{100}} \)

Saludos  ;D

20 Mayo, 2020, 11:20 pm
Respuesta #1

Gray

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se debería de concretar si \( a \) es real o complejo.

21 Mayo, 2020, 12:48 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

se debería de concretar si \( a \) es real o complejo.

Si \( a^{101}=1, a\neq{1} \) entonces necesariamente es complejo.

Hallar: \( \displaystyle\frac{a^3}{1+a}+\displaystyle\frac{a^6}{1+a^2}+\displaystyle\frac{a^9}{1+a^3}+\ldots+\displaystyle\frac{a^{300}}{1+a^{100}} \)

Tienes:

\( \dfrac{a^{3k}}{1+a^k}=1-a^k+a^{2k}-\dfrac{1}{1+a^k} \)

Pero:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{100}a^{k}=\dfrac{a^{101}-a}{a-1}=\dfrac{1-a}{a-1}=-1 \)

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{100}a^{2k}=\dfrac{a^{202}-a^2}{a^2-1}=\dfrac{1-a^2}{a^2-1}=-1 \)

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{100}\dfrac{1}{1+a^k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\dfrac{1}{1+a^k}+\dfrac{1}{1+a^{101-k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{50}\dfrac{2+a^k+a^{101-k}}{1+a^k+a^{101-k}+a^{101}}=50 \)

La suma queda:

\( 100-(-1)-1-50=50 \)

Saludos.

30 Agosto, 2020, 06:35 am
Respuesta #3

Talento

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Muchas gracias por la respuesta. Alguien me lo explico de esta forma:

\( Si: f(x)=x^{101}-1 \)
\( \Longrightarrow{}\sum_{k=1}^{100}\left( \frac{a^{3k}}{1+a^k}\right)=\sum_{k=0}^{100}\left( \frac{a^{3k}}{1+a^k}\right)-\frac{1}{2}=\sum_{k=0}^{100} \left(a^{2k}-a^k+1+\frac{1}{-1-a^k}\right)-\frac{1}{2}=101+\frac{f'(-1)}{f(-1)}-\frac{1}{2}=101+\frac{101}{-2}-\frac{1}{2}=50 \)

No entiendo de dónde sale lo de la derivada y porqué asume ese f(x) (es de igualar a cero? pero porqué lo iguala a cero?)
Saludos y si alguien me lo explica por favor.  :banghead: