Autor Tema: Álgebra productos e implicaciones notables.

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22 Abril, 2020, 09:51 pm
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Talento

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Hola a todos.
En este problema se pide:
A partir de: \( (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)^3-(a^2+bc)^2(b^2+ac)^2(c^2+ab)^2=0 \)  Se puede concluir que:

a)  \(  a+b+c=0 \)
b)  \(  a^2+b^2+c^2=0 \)
c)  \(  ab+bc+ac=0 \)
d)  \(  a^3+b^3+c^3=a+b+c \)
e)  \(  N. A. \)

Gracias de antemano.
Saludos ;D

21 Mayo, 2020, 07:05 pm
Respuesta #1

Raúl Aparicio Bustillo

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Contraejemplo: para \( a,b,c=i \) no se cumple

22 Mayo, 2020, 04:44 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Contraejemplo: para \( a,b,c=i \) no se cumple

¿Contraejemplo de qué?. Con esos valores no se cumple la hipótesis:

\( (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)^3-(a^2+bc)^2(b^2+ac)^2(c^2+ab)^2=0 \)

por tanto no vale de nada.

El ejercicio pregunta si bajo esa hipótesis puede deducirse alguna de las condiciones que propone.

Pero si \( c=0 \):

\( (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)^3-(a^2+bc)^2(b^2+ac)^2(c^2+ab)^2=a^6b^6-a^4b^4a^"b^2=0 \)

y tomando \( a=b=2 \) no se cumple ninguna de las condiciones a)b)c)d).

Saludos.

24 Mayo, 2020, 05:31 pm
Respuesta #3

Raúl Aparicio Bustillo

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Sí, es cierto, el segundo paréntesis no da 3 obviamente. Y por igualdades notables prefiero no contar los árboles que ha perdido el planeta xDDD . Estoy un poco flojo ultimamente, disculpas por el mensaje a los 2 , ¿se pueden borrar o hay que dejarlos puestos con las normas del foro? No aporta nada. De todas formas, lo de trabajar en cuerpos no conmutativos extraños, cuaterniones, etc.. porque bueno, no es muy rebuscado el contraejemplo, en este caso no pero, ¿en algún problema de este tipo se usa como técnica?

25 Mayo, 2020, 07:43 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Sí, es cierto, el segundo paréntesis no da 3 obviamente. Y por igualdades notables prefiero no contar los árboles que ha perdido el planeta xDDD . Estoy un poco flojo ultimamente, disculpas por el mensaje a los 2 , ¿se pueden borrar o hay que dejarlos puestos con las normas del foro? No aporta nada.

La filosofía del foro es no borrar mensajes; entre otras cosas dejan descontextualizadas las posibles respuestas.

Citar
De todas formas, lo de trabajar en cuerpos no conmutativos extraños, cuaterniones, etc.. porque bueno, no es muy rebuscado el contraejemplo, en este caso no pero, ¿en algún problema de este tipo se usa como técnica?

No entiendo la pregunta.

Saludos.

26 Mayo, 2020, 07:41 am
Respuesta #5

Raúl Aparicio Bustillo

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Sí, que sí este tipo de problemas se pueden buscar otras soluciones más ortodoxas. Los números del contraejemplo son muy simples, pero podrían ser series de números arbitrarias. Dentreo de \( \mathbb{R} \), la solución es fácil, es ir probando. Si factorizas no llegas a nada. ¿Hay algún método más estándar, o es solo de ir probando, porque llegar justo a 2, es pura idea feliz, ¿o lo pensaste de alguna forma como conjetura previa

26 Mayo, 2020, 07:54 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sí, que sí este tipo de problemas se pueden buscar otras soluciones más ortodoxas. Los números del contraejemplo son muy simples, pero podrían ser series de números arbitrarias. Dentreo de \( \mathbb{R} \), la solución es fácil, es ir probando. Si factorizas no llegas a nada. ¿Hay algún método más estándar, o es solo de ir probando, porque llegar justo a 2, es pura idea feliz, ¿o lo pensaste de alguna forma como conjetura previa

La idea del contraejemplo es dar un valor muy sencillo a una o dos de las variables y ver que pasa con las otras dos o con la tercera para que se cumpla la expresión.

Por otra parte en el ejercicio se sobreentiende que trabajamos con números reales.

En realidad yo sospecho que hay algún error en el enunciado; quizá incluso quien lo redacto quería poner otra cosa. No creo que estuviera pensado simplemente para encontrar un contraejemplo.

El ejercicio se encuadra dentro de la teoría de polinomios simétricos.

Saludos.