Autor Tema: Integral en \(\mathcal{L}^1(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n)\) converge

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17 Abril, 2020, 11:06 pm
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lindeloff

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Hola, tengo lo siguiente: dado \( \xi \in \mathbb{R}^n \) sabemos que \( (1+|\xi|)^{-t} \) es integrable en \( \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^n) \) para \( t>n \).


Ahora, dados \( \xi,\eta \in \mathbb{R}^n \), necesito probar que para cada \( d\in \mathbb{R} \) existe \( s\in \mathbb{R} \) tal que

\begin{equation*}
\int \!\! \int (1 + |\xi|)^{d}(1 + |\xi - \eta|)^{-k}(1 + |\eta|)^{-k} \; d(\xi \times \eta) <\infty
\end{equation*}

es integrable en \( \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n) \) para todo \( k>s \).

He intentado usar la desigualdad de Peetre he hice


\( (1 + |\xi|)^{d}(1 + |\xi - \eta|)^{-k}(1 + |\eta|)^{-k} \)

\( = (1 + |\xi - \eta + \eta|)^{d}(1 + |\xi - \eta|)^{-k}(1 + |\eta|)^{-k} \)

\( \leq (1 + |\xi - \eta|)^{d}(1 + |\eta|)^{|d|}(1 + |\xi - \eta|)^{-k}(1 + |\eta|)^{-k} \)

\( = (1 + |\xi - \eta|)^{d-k}(1 + |\eta|)^{|d|-k} \)

entonces

\begin{equation*}
\int \int (1 + |\xi - \eta|)^{d-k}(1 + |\eta|)^{|d|-k} \; d\eta \; d\xi = \int (f\star g)(\xi) \; d\xi = ||f\star g||_{1}.
\end{equation*}

donde es integrable si  \( -d+k>n \) y \( -|d|+k>n \) ; pero la integral iterada no es suficiente para  decir que la primer integral convervge.


Esto lo tomé del libro "Spin Geometry de Lawson Michelson, página 180", él tiene lo siguiente

\begin{equation*}
\int \int e^{i\langle x,\xi\rangle}\hat{a}(x,\xi-\eta,\xi)\hat{u}(\eta) \; d\eta \; d\xi
\end{equation*}

y necesita intercambiar el orden de integración y dice

\begin{equation*}
|\hat{a}(x,\xi-\eta,\xi)||\hat{u}(\eta)|\leq (1 + |\xi|)^{d}(1 + |\xi - \eta|)^{-k}(1 + |\eta|)^{-k}
\end{equation*}

entonces es integrable para \( k \) grande.


Que me sugieren, hay algo que no estoy entendiendo y no me doy cuenta.
Gracias