Autor Tema: Mostrar que la función f pertenece únicamente al espacio L1.

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10 Abril, 2020, 11:15 pm
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kklk

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Hola a todos,

Tengo que demostrar que si \( X=(0,\infty) \), \( \mu \) es la medida de Lebesgue sobre \( X \), y \( f(x)=\frac1{x(1+|\ln(x)|)^2} \), entonces \( f\in\mathcal{L}_p \Leftrightarrow p=1 \).

No sé como empezar. Lo que más me molesta es que si quisiera usar integrales de Riemann tendrían que ser impropias y creo que en ese caso ya no coincide con la integral de Lebesgue. Estoy muy confundido con este ejercicio.

10 Abril, 2020, 11:31 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos,

Tengo que demostrar que si \( X=(0,\infty) \), \( \mu \) es la medida de Lebesgue sobre \( X \), y \( f(x)=\frac1{x(1+|\ln(x)|)^2} \), entonces \( f\in\mathcal{L}_p \Leftrightarrow p=1 \).

No sé como empezar. Lo que más me molesta es que si quisiera usar integrales de Riemann tendrían que ser impropias y creo que en ese caso ya no coincide con la integral de Lebesgue. Estoy muy confundido con este ejercicio.

En este caso la integral impropia de Riemann coincide con la de Lebesgue ya que el integrando es localmente Riemann-integrable y no-negativo (se puede demostrar utilizando el teorema de convergencia monótona).

11 Abril, 2020, 06:30 am
Respuesta #2

kklk

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Hola a todos,

Tengo que demostrar que si \( X=(0,\infty) \), \( \mu \) es la medida de Lebesgue sobre \( X \), y \( f(x)=\frac1{x(1+|\ln(x)|)^2} \), entonces \( f\in\mathcal{L}_p \Leftrightarrow p=1 \).

No sé como empezar. Lo que más me molesta es que si quisiera usar integrales de Riemann tendrían que ser impropias y creo que en ese caso ya no coincide con la integral de Lebesgue. Estoy muy confundido con este ejercicio.

En este caso la integral impropia de Riemann coincide con la de Lebesgue ya que el integrando es localmente Riemann-integrable y no-negativo (se puede demostrar utilizando el teorema de convergencia monótona).

¿Y no existe otra forma de demostrarlo? Es que en clase nunca me han demostrado ese resultado.
Me recomiendan utilizar la desigualdad \( \rho(1+\ln(t))\leq t^\rho, \ (t\geq1,\ \rho\in(0,1)) \) para \( t=1/x \) si q>1 y para \( t=x \) si \( q\in(0,1) \). Tengo la sensación de que hay que usar el criterio de comparación en alguna parte pero no he logrado obtener una desigualdad que me sirva.

11 Abril, 2020, 11:39 am
Respuesta #3

Masacroso

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¿Y no existe otra forma de demostrarlo? Es que en clase nunca me han demostrado ese resultado.
Me recomiendan utilizar la desigualdad \( \rho(1+\ln(t))\leq t^\rho, \ (t\geq1,\ \rho\in(0,1)) \) para \( t=1/x \) si q>1 y para \( t=x \) si \( q\in(0,1) \). Tengo la sensación de que hay que usar el criterio de comparación en alguna parte pero no he logrado obtener una desigualdad que me sirva.

Quizá pero de manera natural lo más sencillo es utilizar el teorema de convergencia monótona que en esencia es lo mismo que la integral impropia de Riemann. Dicho de otro modo: no necesitabas conocer ese resultado ya que al utilizar el teorema de convergencia monótona aparece esa equivalencia, simplemente tomando sucesiones \( (a_n)\downarrow 0,\, (b_n)\uparrow \infty  \) y definiendo \( g_n:=\mathbf{1}_{(a_n,b_n)}f \) entonces del teorema de convergencia monótona tenemos que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\int_X g_n=\int_X f
} \)

que es lo mismo que calcular la integral impropia de Riemann \( \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_\epsilon^1 f(t)\mathop{}\!d t+\lim_{x\to \infty }\int_{1}^x f(t)\mathop{}\!d t \).