Autor Tema: Sistema de ecuaciones irracionales

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17 Abril, 2020, 07:12 pm
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Hola a todos. En este problema me pide resolver el sistema:

\( \begin{cases}& xyzw=2007 \\ & x=\sqrt{55+\sqrt{a+x}} \\ & y=\sqrt{55-\sqrt{a+y}} \\ & z=\sqrt{55+\sqrt{a-z}} \\& w=\sqrt{55-\sqrt{a-w}} \\\end{cases} \)

Gracias de antemano
Saludos ;D

17 Abril, 2020, 09:57 pm
Respuesta #1

Abdulai

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Hola a todos. En este problema me pide resolver el sistema:

\( \begin{cases}& xyzw=2007 \\ & x=\sqrt{55+\sqrt{a+x}} \\ & y=\sqrt{55-\sqrt{a+y}} \\ & z=\sqrt{55+\sqrt{a-z}} \\& w=\sqrt{55-\sqrt{a-w}} \\\end{cases} \)


Si eliminamos las raíces en cada una de las ecuaciones introduciremos raíces extrañas, pero observemos que: 

\( \begin{cases}& x=\sqrt{55+\sqrt{a+x}} \;\;\longrightarrow\;\; (x^2-55)^2-x-a=0
 \\ & y=\sqrt{55-\sqrt{a+y}}  \;\;\longrightarrow\;\; (y^2-55)^2-y-a=0
\\ & z=\sqrt{55+\sqrt{a-z}}  \;\;\longrightarrow\;\; (z^2-55)^2+z-a=((-z)^2-55)^2-(-z)-a =0
\\& w=\sqrt{55-\sqrt{a-w}}  \;\;\longrightarrow\;\; (w^2-55)^2+w-a=((-w)^2-55)^2-(-w)-a =0
\\ \end{cases} \)

Las 4 llevan a la misma ecuación, por lo tanto las 4 raíces de:

\( (u^2-55)^2-u-a= u^4 - 110 u^2 - u  + 3025-a = 0 \) 

serán soluciónes del sistema anterior (dos de ellas con el signo cambiado)

Por Cardano-Vieta   \( \;\;\longrightarrow\;\;3025-a=2007 \;\;\longrightarrow\;\;a = 1018 \)

Queda:  \( u^4 - 110 u^2 - u  + 2007 = 0 \) 

Lamentablemente las raíces no tienen forma amigable, asi que resolviendo numéricamente (las dos últimas ya tienen el cambio de signo):

\( x_1 = 4.797790121 \\
x_2 = 9.330165679 \\
x_3 = 4.813461203  \\
x_4 = 9.314494596  \)

Como están desordenadas, hay que verificar manualmente la correspondencia con \( x,y,z,w \)