Autor Tema: Duda sobre integral compleja usando el teorema de los residuos

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17 Abril, 2020, 06:44 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos, espero que se encuentren bien :) .
Me piden demostrar usando el teorema de los residuos que la transformada de Fourier de \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{4}} \) está dada por:
\( \hat{f}(\xi)=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}} e^{-\left |{\xi  /   \sqrt{2}}\right |} \left( cos(\displaystyle\frac{\xi}{\sqrt{2}}) + sen(\displaystyle\frac{\left |{ \xi }\right |}{\sqrt{2}})\right)  \)
Lo que hice fue lo siguiente:
Por definición debo calcular \( \hat{f}(\xi)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \xi x} f(x) dx \)
Si consideramos la función de variable compleja \( F(z)=\displaystyle\frac{e^{-i \xi z}}{1+z^{4}} \), tenemos que las singularidades de \( F \) son \( a_{k}=e^{i\displaystyle\frac{\pi+2k \pi}{4}} \) , con \( k=0,1,2,3 \). De ellas solamente \( a_{0} \) y \( a_{1} \) se encuentran en el semiplano superior, por lo que si integramos por el camino \(  \Gamma_{R}=\gamma_{R}+[-R,R] \) siendo \( \gamma_{R} \) la semicircunferencia de radio \( R \), el teorema del residuo nos dice que
\( \displaystyle\int_{\Gamma_{R}}^{}F =\displaystyle\int_{\gamma_{R}}^{}F+\displaystyle\int_{-R}^{R}F=2 \pi i (Res(F,a_{0})+Res(F,a_{1})) \).
Luego, se sabe que si \( R\rightarrow{\infty} \) la integral sobre \( \gamma_{R} \) es nula, de modo que
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi) d \xi=2 \pi i (Res(F,a_{0})+Res(F,a_{1})) \).
Por otro lado,
\( Res(F,a_{0})=\displaystyle\lim_{z \to{} e^{i \pi /4}}{(z-a_{0})F(z)} \)
               \( =\displaystyle\lim_{z \to{} e^{i \pi /4}}{(z- e^{i \pi /4})\displaystyle\frac{e^{-i \xi z}}{1+z^{4}}} \)
               \( =\displaystyle\lim_{z \to{} e^{i \pi /4}}{\displaystyle\frac{ze^{-i \xi z}-e^{i \pi /4}e^{-i \xi z}}{1+z^{4}}} \)
Ahora bien, tanto la función del denominador como la del numerador son analíticas en una bola centrada en \( e^{i \pi /4} \), y ambas valuadas en \( e^{i \pi /4} \) son cero, por tanto podemos aplicar la regla de \( l'hopital \) para funciones de variable compleja, de modo que el límite anterior es igual
\( \displaystyle\lim_{z \to{} e^{i \pi /4}}{\displaystyle\frac{e^{-i \xi z}(1-i \xi z)+i \xi e^{i \pi /4} e^{-i \xi z}}{4z^{3}}}=\displaystyle\lim_{z \to{} e^{i \pi /4}}{\displaystyle\frac{e^{-i \xi z}(1-i \xi z)+i \xi e^{i \pi /4} e^{-i \xi z}}{4z^{3}}}=\displaystyle\lim_{z \to{} e^{i 3 \pi /4}}{\displaystyle\frac{e^{-i \xi z}(1-i \xi z + i \xi e^{i \pi /4})}{4z^{3}}} \)
Cuando evaluemos en \( e^{i \pi /4} \) el segundo y el tercer sumando de la suma del paréntesis se van a anular, de modo que nos quedará
\( \displaystyle\frac{1}{4}e^{-i \xi e^{i \pi /4}}e^{-i 3 \pi /4} \)
Análogamente
\( Res(F,a_{1})=\displaystyle\lim_{z \to{} e^{i 3 \pi /4}}{\displaystyle\frac{e^{-i \xi z}(1-i \xi z + i \xi e^{i 3 \pi /4})}{4z^{3}}} \)
Y nuevamente, cuando tomemos límite el segundo y el tercer sumando se van a anular, de modo que nos quedará al  que este último residuo es
\( \displaystyle\frac{1}{4}e^{-i \xi e^{i 3 \pi /4}}e^{-i  \pi /4} \)
Por ende
\( Res(F,a_{0})+Res(F,a_{1})=\displaystyle\frac{1}{4}e^{-i \xi e^{i \pi /4}}e^{-i 3 \pi /4}+\displaystyle\frac{1}{4}e^{-i \xi e^{i 3 \pi /4}}e^{-i  \pi /4} \)
Hice a mano este último cálculo usando que \( e^{3 \pi i /4 }=-1/ \sqrt{2}+i \sqrt{2} \), \( e^{-3 \pi i /4 }=-1/ \sqrt{2}-i \sqrt{2} \), \( e^{ \pi i /4 }=1/ \sqrt{2}+i \sqrt{2} \), \( e^{- \pi i /4 }=1/ \sqrt{2}-i \sqrt{2} \), y hasta lo puse en Wolfram para asegurarme y al final me salió que esta última suma es
\( -i \displaystyle\frac{e^{\xi / \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} }  \left(       cos(\displaystyle\frac{\xi}{\sqrt{2}}) - sen(\displaystyle\frac{ \xi }{\sqrt{2}})                     \right) \), y cuando multiplicamos por \( 2 \pi i \) nos queda finalmente
\( \displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}} e ^{\xi / \sqrt{2}} \left( cos(\displaystyle\frac{\xi}{\sqrt{2}}) - sen(\displaystyle\frac{\xi }{\sqrt{2}})     \right)  \)
i.e me sale lo mismo que al libro solamente si \( \xi <0 \), pero no si \( \xi >0 \), ya revisé las cuentas como mil veces y no hallo el error, ¿qué pasé por alto?
Muchos saludos y gracias por su ayuda.




17 Abril, 2020, 12:04 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Lo que sucede es que la integral a la semicircunferencia \( \gamma_R \) es nula cuando \( R \to \infty  \) solo si \( \xi <0 \), pero diverge si \( \xi>0 \). Esto lo puedes ver escribiendo el camino como \( Re^{i\theta} = R\cos(\theta) + iR\sin(\theta) \). Si sustituyes, te quedará en el integrando un factor \( e^{\xi R\sin(\theta)} \), que se va a cero si \( \xi<0 \) pero se va a infinito si \( \xi>0 \).

Esto quiere decir que para \( \xi>0 \) tienes que cerrar el circuito usando la semicircunferencia en el semiplano inferior, es decir, cerrar por abajo en vez de por arriba. Ahora el circuito encierra los otros dos polos y tienes que volver a hacer el cálculo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Abril, 2020, 09:55 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Oh ya veo, tienes toda la razón :) , ¡muchas gracias geómetracat!
Saludos  :D .