Autor Tema: Curvas de nivel

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23 Mayo, 2020, 06:42 am
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carixto

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Hola
Traigo este problema
Sea una funcion [texx] f:IC\longrightarrow{} IC [/texx] diferenciable. Como sabemos podemos representar a [texx] f(z)=f(x,iy)=u(x,y)+iv(x,y) [/texx] con [texx] u, v [/texx] satisfaciendo las ecuaciones de Cauchy-Riemann y [texx] z=x+iy \in IC [/texx], con [texx] i=[/texx]raiz cuadrada de -1.
Sean ahora las curvas de niveles [texx] u(x,y)=C[/texx] y  [texx] v(x,y)=C[/texx] coon  [texx] C \in \mathbb{R}[/texx]. Demuestre que en cualquier punto [texx] (x_0,y_0)[/texx] tal que [texx]u(x_0,y_0)=C=v(x_0,y_0) [/texx] es decir, en las intersecciones de las curvas de nivel, se tiene que éstas forman un ángulo recto.
Saludos

23 Mayo, 2020, 09:42 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola
Traigo este problema
Sea una funcion [texx] f:IC\longrightarrow{} IC [/texx] diferenciable. Como sabemos podemos representar a [texx] f(z)=f(x,iy)=u(x,y)+iv(x,y) [/texx] con [texx] u, v [/texx] satisfaciendo las ecuaciones de Cauchy-Riemann y [texx] z=x+iy \in IC [/texx], con [texx] i=[/texx]raiz cuadrada de -1.
Sean ahora las curvas de niveles [texx] u(x,y)=C[/texx] y  [texx] v(x,y)=C[/texx] coon  [texx] C \in \mathbb{R}[/texx]. Demuestre que en cualquier punto [texx] (x_0,y_0)[/texx] tal que [texx]u(x_0,y_0)=C=v(x_0,y_0) [/texx] es decir, en las intersecciones de las curvas de nivel, se tiene que éstas forman un ángulo recto.
Saludos

El vector normal a la curva de ecuación implícita \( u(x,y)=C \) es \( (u_x,u_y) \) y análogamente el del curva \( v(x,y)=C \) es \( (v_x,v_y) \).

Si ambos vectores son perpendiculares los tangentes también lo son y por tanto las curvas forman un ángulo recto en el punto común.

Pero el producto escalar de ambos vectores es:

\( (u_x,u_y)\cdot (v_x,v_y)=u_xv_x+u_yv_y \)

Pero por las condiciones de Cauchy-Riemann: \( u_x=v_y,\quad u_y=-v_x \). Termina...

Saludos.