Autor Tema: Sumatoria con productoria

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17 Abril, 2020, 01:47 am
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Talento

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Hola: a todos. En este problema me piden hallar la sumatoria

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\left (\displaystyle\frac{i}{\displaystyle\prod_{k=1}^{i}{(2k+1)}}\right )}=? \)

Gracias de antemano
Saludos :D

17 Abril, 2020, 05:51 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Viendo en Yahoo respuestas ví esto que podría ayudar

https://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100113134413AAbFhbH


Lo copio

Si \( M_n \) es el producto de los primeros n impares

\( (2n)!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots\cdot (2n-1)\cdot (2n)=(1\cdot 3\cdot 5 \cdot \ldots\cdot (2n-1))(2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2n))=\\ \qquad =M_n\cdot 2^n\cdot n! \)

Entonces

\( M_n=\dfrac{(2n)!}{2^n\cdot n!} \)


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

17 Abril, 2020, 06:19 am
Respuesta #2

Talento

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Hola he llegado a esto:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\left (\displaystyle\frac{i}{\displaystyle\prod_{k=1}^{i}{(2k+1)}}\right )}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{i\cdot{}i!\cdot{}2^i}{(2i+1)!}} \)

Alguna ayuda?
 :banghead:

17 Abril, 2020, 11:56 pm
Respuesta #3

Gustavo

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Hola. Intenta primero un caso más general para una sucesión \( (a_n) \) cualquiera:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{(a_1+1)\cdots (a_n+1)}=1-\lim_{n\to \infty} \frac{1}{(a_1+1)\cdots (a_n+1)} \).

Dejo en spoiler una pista.

Spoiler
Escribe el numerador \( a_n \) como \( (a_n+1)-1 \) y arma una serie telescópica.
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