Autor Tema: Álgebra leyes de exponentes

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15 Abril, 2020, 08:54 am
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Hola a todos en este problema  :banghead: Si hay \( n \) radicales, hallar el exponente final de \( x \) en:

\( \sqrt{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{\vdots^\textrm{{n  radicales}}}{x^{-14}}}}{x^{-10}}}}{x^{-7}}}}{x^{-5}}} \)

Gracias de antemano.
Saludos a todos ;D

15 Abril, 2020, 05:39 pm
Respuesta #1

hméndez

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Hola a todos en este problema  :banghead: Si hay \( n \) radicales, hallar el exponente final de \( x \) en:

\( \sqrt{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{\vdots^{n  radicales}}{x^{-14}}}}{x^{-10}}}}{x^{-7}}}}{x^{-5}}} \)

Gracias de antemano.
Saludos a todos ;D

Pues será el exponente de la última x que se escriba ;D

\( -\displaystyle\frac{n^2+n+8}{2} \)

Saludos

15 Abril, 2020, 05:47 pm
Respuesta #2

Talento

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Hola pide el exponente final de \( x \), osea  o sea:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{i^2+i+8}{2^{i+1}}}=? \)

Saludos a todos.

15 Abril, 2020, 09:09 pm
Respuesta #3

guillem_dlc

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Buenas Talento,

Correcto! Es la suma que has propuesto. Ahí va mi planteamiento:

\( R=\sqrt{x^5\sqrt{x^7\sqrt{x^{10}\sqrt{x^{14}\cdots \,\, \text{(n radicales)}}}}}=x^{5/2}\cdot x^{7/4}\cdot x^{10/8}\cdot x^{14/16}\cdots \,\, \text{(n factores)} \)

Consideramos la sucesión del numerador del exponente: \( a_n=\{ 5,7,10,14,19,25,\ldots \} \):

\( a_1=4+1=4+\binom{2}{2} \)
\( a_2=4+3=4+\binom{3}{2} \)
\( a_3=4+6=4+\binom{4}{2} \)
\( a_4=4+10=4+\binom{5}{2} \)
\( a_5=4+15=4+\binom{6}{2} \)

Por tanto, \( a_n=4+\binom{n+1}{2}=4+\dfrac{(n+1)\cdot n}{2}=\dfrac{n^2+n+8}{2} \)

Entonces, la sucesión de los exponentes la podemos escribir como:

\( b_n=\Bigg\{ \dfrac52, \dfrac74, \dfrac{10}{8},\dfrac{14}{16},\ldots \Bigg\} \Rightarrow b_n=\dfrac{\frac{n^2+n+8}{2}}{2^n}=\dfrac{n^2+n+8}{2^{n+1}} \)

Por tanto,

\( R=x^{\frac52+\frac74+\frac{10}{8}+\frac{14}{16}+\frac{19}{32}+\cdots +\frac{n^2+n+8}{2^{n+1}}}=R^X,\quad \text{donde}\quad \boxed{X=\sum_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+8}{2^{k+1}}} \)

Saludos.

15 Abril, 2020, 09:43 pm
Respuesta #4

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Si pero la pregunta es a que es igual esa sumatoria?

15 Abril, 2020, 11:19 pm
Respuesta #5

guillem_dlc

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Vamos a calcular la suma entonces:

\( X=\sum_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+8}{2^{k+1}}=\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2^{k+1}}+\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{2^{k+1}}+\sum_{k=1}^n\dfrac{8}{2^{k+1}} \)

Calculamos las tres sumas por separado:

Sea \( S=\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2^{k+1}} \), entonces como la razón de la progresión geométrica asociada al término general es \( \dfrac12 \), multiplicamos \( S \) por \( \dfrac12 \). Restando \( \dfrac12S \) de \( S \) obtenemos

\(  \begin{align*}
        S &= \dfrac14 +\dfrac48 +\dfrac{9}{16}+\dfrac{25}{64}+\cdots +\dfrac{n^2}{2^{n+1}}\\
        \dfrac12S &= +\dfrac18+\dfrac{4}{16}+\dfrac{9}{32}+\dfrac{16}{64}+\cdots +\dfrac{(n-1)^2}{2^{n+1}}+\dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\
       \text{Restando}\\
        \dfrac12S &= \dfrac14+\dfrac38+\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\dfrac{9}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}.
    \end{align*} \)
Continuamos con este procedimiento con \( T=\dfrac12S \) una vez más y restamos:
\(  \begin{align*}
        T&= \dfrac14 +\dfrac38 +\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\dfrac{9}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\
        \dfrac12T &= +\dfrac18+\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{32}+\dfrac{7}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}-\dfrac{n^2}{2^{n+3}}\\
       \text{Restando}\\
        \dfrac12T &= \dfrac14+\dfrac28+\dfrac{2}{16}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{64}+\cdots +\dfrac{2}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}+\dfrac{n^2}{2^{n+3}}.
    \end{align*} \)
Ahora, observamos que con la excepción del primer término y de los tres últimos, obtenemos una progresión geométrica con término inicial \( \dfrac28 \) y razón \( \dfrac12 \). Por tanto, obtenemos

\( \dfrac12T=\dfrac14 +\dfrac{2^n-2}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}+\dfrac{n^2}{2^{n+3}}=\dfrac{-\frac14n^2-n-\frac32+2^n+2^{n-1}}{2^{n+1}} \)

Por tanto, la primera suma buscada es

\( S=\dfrac{-n^2-4n-6+6\cdot 2^n}{2^{n+1}} \)

Vamos a por la segunda suma:

\( S'=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{2^{k+1}}=\dfrac14 +\dfrac28+\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{32}+\dfrac{5}{64}+\cdots +\dfrac{n}{2^{n+1}} \)

Multiplicamos \( S' \) por \( \dfrac12 \), y obtenemos

\( \dfrac{S'}{2}=\dfrac18+\dfrac{2}{16}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{4}{64}+\dfrac{5}{128}+\cdots +\dfrac{n-1}{2^{n+1}}+\dfrac{n}{2^{n+2}} \)

Ahora restando \( \dfrac{S'}{2} \) de \( S \), obtenemos

\( \dfrac{S'}{2}=\dfrac14+\dfrac18+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\cdots +\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^{n+2}} \)

Que es una progresión geométrica excepto el último término. Entonces, por la famosa conocida fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, obtenemo que:

\( S'=2\cdot \left( \dfrac{2^n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^{n+2}}\right) =\dfrac{2^{n+1}-2-n}{2^{n+1}} \)

Vamos ya por la última suma que no es complicada teniendo en cuenta lo que hemos hecho, simplemente es una progresión geométrica:

\( S''=\sum_{k=1}^n\dfrac{8}{2^{k+1}}=8\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^{k+1}}=4-2^{2-n} \)

Finalmente, la suma que nos interesa es entonces:

\( \boxed{X=S+S'+S''=\dfrac{-n^2-5n+2^{n+4}-16}{2^{n+1}}} \)

Saludos.

16 Abril, 2020, 11:27 pm
Respuesta #6

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guillem_dlc. Muchas gracias. Todo bien entendible. Saludos cordiales. ;D