Autor Tema: Sustitución de variables libres/ligadas

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13 Abril, 2020, 10:18 pm
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JordiMath

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Me aparecen las siguientes dos reglas en un teorema de sustitución de variables libres/ligadas:

Sea S(t/x) θ  la sustitución de x por t en θ

Regla 1. Si x está libre en θ, entonces las variables libres de t y las variables libres de θ distintas de x están libres en S(t/x) θ

Regla 2. Una variable y está libre en S(t/x) θ si y solo si o bien está libre en θ e y \neq{x}, o bien x está libre en θ e y está libre en t.

Ahora supongamos que θ = Λy (Ayx -> Ayp) y que t=fy
siendo Λ un cuantificador, A un relator y f un funtor. x, y, p son variables.

Pues ahora si sustituimos x por t tenemos
S(t/x) θ = Λy (Ayfy -> Ayp )

Se incumple la regla 1, porque x está libre en θ, e y es variable libre de t distinta de x pero y no es variable libre en S(t/x) θ

Se incumple la regla 2, porque x está libre en θ e y está libre en t, pero y no es variable libre de S(t/x) θ

Están mal formuladas las reglas del libro? Lo estoy razonando mal?


14 Abril, 2020, 12:21 am
Respuesta #1

geómetracat

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Lo que deberías mirar es la definición de sustitución. Normalmente se define de manera que si hay variables libres en \( t \) que van a quedar ligadas por un cuantificador al sustituir \( x \) por \( t \) en \( \theta \), previamente se sustituye \( y \) por una variable nueva \( z \) en \( \theta \) que no aparezca ni en \( t \) ni en \( \theta \). Esto se hace para que la sustitución signifique lo que uno intuitivamente esperaría.

En tu ejemplo, quedaría:
\( S(t/x) \theta = \bigwedge z (Azfy \rightarrow Azp) \).
Ahora se cumplen las dos reglas sin problemas.

Por la notación y la nomenclatura que usas diría que estás mirando el libro de lógica de Carlos Ivorra. Si es así, verás que en la definición de sustitución que da hace exactamente lo que he explicado antes.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Abril, 2020, 12:28 am
Respuesta #2

JordiMath

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Muchas gracias por la respuesta.

Sí, hace un tiempo estaba estudiando el grado de matemáticas por la UNED pero tuve que dejarlo por. cuestiones personales y quiero reemprender el aprendizaje. Lo que pasa es que no quiero el estrés ni la presión de los plazos de entrega y los exámenes, por lo que he decidido hacerlo de forma autodidacta, así que como tenía los 18 libros de Carlos Ivorra he empezado con ellos.

Te parecen unos buenos libros para llegar al nivel similar del grado o más?

14 Abril, 2020, 12:51 am
Respuesta #3

geómetracat

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Je. Si te lees (y asimilas bien) todos los libros de Carlos Ivorra de algunos temas tendrás un nivel muchísimo más allá del máster mientras que otros temas que se dan en el grado ni los tocarás (así a bote pronto y hablando de memoria, diría que no hay nada sobre temas de matemática más aplicada como probabilidad y estadística, o teoría de grafos, por decir algunos).

En cualquier caso, y aunque los libros me parecen excelentes, creo que es muy mala idea que alguien que va a empezar a estudiar matemáticas de manera autodidacta (e imagino que con unos conocimientos previos no demasiado elevados) se dedique a leer esos libros. Por ejemplo, el libro de lógica matemática que estás leyendo es un libro dedicado a entender los entresijos de los fundamentos de las matemáticas y demostrar teoremas como los teoremas de incompletitud de Gödel, que son relativamente avanzados.

Si lo que te interesa es conseguir una base matemática del estilo de lo que se da en el grado, yo de ti empezaría con libros más sencillos, quizás mirando la bibliografía recomendada en los grados de las universidades españolas. Y sobre todo, intentaría conseguir libros que tengan bastantes ejercicios para practicar, que es algo que no tienen los libros de Carlos.

Si te ves con ánimo y con suficiente madurez matemática, una alternativa bastante más ambiciosa pero factible es leerte los tres libros de álgebra, geometría y análisis matemático de Carlos Ivorra, que se parecen bastante más a lo que se hace de esas materias en un grado de matemáticas (aunque en esos libros hay más material del que se llega a ver en el grado) y complementarlos con algunos libros de las partes más aplicadas. Una vez hayas hecho eso ya tendrás más claros tus gustos e intereses y sabrás por dónde tirar.

En cualquier caso lo que recomiendo es evitar de entrada los libros sobre lógica y teoría de conjuntos, a no ser que estés específicamente interesado en esos temas, claro.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Abril, 2020, 01:17 am
Respuesta #4

JordiMath

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Cuando lo dejé ya estaba en tercero, así que había dado una buena parte. Pero me gustaría una imagen más completa, especialmente de algunos temas. Y ya me gusta esa matemática menos aplicada. Recuerdo que me encantó la teoría de Galois o variable compleja o teoría de números. Iré leyendo libros y ciertamente algunos los pasaré más por encima que otros.

La cuestión de los ejercicios sí podría ser interesante porque ayudan a consolidar el aprendizaje y siempre lo amenizan. Aunque supongo que tendré que ir buscando según el tema del que se trate. No sé si hay una colección relativamente completa de libros de ejercicios al estilo de los libros de Carlos Ivorra.

14 Abril, 2020, 10:36 am
Respuesta #5

geómetracat

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Ah bueno, eso cambia las cosas. Me había hecho la idea de que no habías avanzado mucho.

Entonces puede ser buena idea lo que te dije antes de los tres libros de álgebra, geometría, análisis. Te servirán para repasar y aprenderás muchas cosas nuevas, a la vez que ganarás una muy buena base para leer cosas más especializadas en cualquier dirección.

La lógica, teoría de conjuntos y demás es una pasada, pero lo que quería dejar claro en mi mensaje anterior es que no son cosas que se den en el grado. De hecho, la mayoría de matemáticos profesionales "estándar", que no se dedican a la lógica, no tiene ni idea de lo que hay en esos libros. Así que es un material bastante especializado. Pero si llegaste a ver teoría de Galois y cosas así, desde luego deberías estar preparado para leerte esos libros, si es un campo que te interesa especialmente.

Sobre los ejercicios, la verdad es que no conozco libros que sean específicamente de ejercicios. Si te gusta el estilo de los libros de Carlos, una buena idea puede ser buscar otros libros alternativos que tengan más o menos la misma teoría que estás leyendo e ir haciendo ejercicios de estos otros libros.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Abril, 2020, 11:39 am
Respuesta #6

JordiMath

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Muchas gracias por tus opiniones y consejos.