Autor Tema: Convolución de dos funciones trigonométricas

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12 Abril, 2020, 02:54 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos, espero estéis bien :) . No estoy seguro de cómo proceder con el siguiente problema, podrían darme alguna sugerencia por favor?
Para cada \( a>0 \) se define \( g_{a}(x)=\displaystyle\frac{sen(ax)}{\pi x} \), me piden hallar la convolución \( g_{a}*g_{b} \).
Por definición tenemos:
\( I(x)=g_{a}*g_{b}(x)=\displaystyle\int_{- \infty }^{\infty} g_{a}(x-y)g_{b}(y) dy  \)
               \( =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\frac{sen(a(x-y))}{\pi (x-y)} \displaystyle\frac{sen(by)}{\pi y} dy \)
Usando la identidad \( cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y) \) podemos concluir que :
\( I(x)=\displaystyle\frac{cos(ax)}{2 \pi ^{2}} \left( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{cos((a+b)y)}{(x-y)y}dy -   \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{cos((b-a)y)}{(x-y)y}dy                                                                               \right)  \)
De acuerdo a las integrales anteriores se me ocurrió que podíamos calcular la integral
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{cos(cy)}{(x-y)y}dy \)
y luego simplemente reemplazar por \( a+b \) y \( b-a \) para ver qué queda.
Y para esto último pensé que sería bueno considerar la función de variable compleja \( F(z)=\displaystyle\frac{e^{cz}}{(x-z)z} \), integrar sobre algún camino conveniente y luego usar el teorema de los residuos.
Lo que me causa conflicto es que tengo dos singularidades en el eje real, ¿Qué camino me conviene usar?   ???
De antemano gracias. Muchos saludos. :) 

12 Abril, 2020, 05:13 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. La integral a la que redujiste el problema no converge. Si puedes usarlo, tal vez es mejor ver \( g_a \) como la transformada de Fourier de una función rectangular. Así para la convolución tendrás que hallar la transformada del producto de dos funciones rectangulares.

13 Abril, 2020, 03:59 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Hola Gustavo, gracias por tu respuesta :) . Hmmmmmm pensé que si convergía :( , la razón de que no converja se debe a los polos en el eje real?
Lo que pasa es que según recuerdo si \( F(z)=P(z)/Q(z) \) es una función racional en la que el grado de \( Q \) supera al menos en una unidad al de \( P \) y donde \( P,Q \) tienen oeficientes reales, entonces
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(t)e^{ait}dt \)
converge, pero a lo mejor me estoy confundiendo.
Por otro lado gracias por la sugerencia, lo intentaré de ese modo :) .
Saludos.
Añadido: Tenías razón, viendo a \( g_{a} \) como la transformada de una función rectangular el problema sale mucho más fácil, te lo agradezco :)

14 Abril, 2020, 04:25 am
Respuesta #3

Gustavo

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Sí, el problema son los polos en el eje real. La versión que conozco del teorema que mencionas asume además que Q no se anula sobre los reales.

Me alegra que te haya salido con la sugerencia. :)

14 Abril, 2020, 03:16 pm
Respuesta #4

FerOliMenNewton

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Ya veo, muchas gracias por aclarar la duda :) :D .
Saludos.