Autor Tema: Tomar determinación holomorfa

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11 Abril, 2020, 02:05 pm
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Juan Sánchez

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Dada la función \( \sqrt[ ]{1+z} \), cómo demuestro que puedo tomar una determinación holomorfa en |z|<1\(  \)?

12 Abril, 2020, 07:28 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Dada la función \( \sqrt[ ]{1+z} \), cómo demuestro que puedo tomar una determinación holomorfa en |z|<1\(  \)?

Si \( \left |{z}\right |<1 \), puedes verificar inmediatamente que \( \Re (1+z) >0 \), es decir \( -\pi/2 < \arg (1+z) < \pi/2 \). Eligiendo el corte \( \theta= -\pi/2 \), tienes una rama holomorfa de la raíz cuadrada \( \sqrt{1+z} \) i.e. aquella cuyas imágenes están en la región \( -\pi/2 < \theta < -\pi/2+2\pi/2=\pi/2 \).

13 Abril, 2020, 06:12 pm
Respuesta #2

Juan Sánchez

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Gracias por tu respuesta, creo que mi problema es que no entiendo bien del todo qué significa tomar una determinación holomorfa.

En general, entonces, si me piden demostrar que puedo tomar una determinación holomorfa en un abierto \( \Omega \) (en este caso \( |z|<1 \)) lo que tengo que hacer es ver que todas las imágenes de la función con valores en \( \Omega \) tienen como argumento principal un ángulo de longitud \( 2\pi \)? (en todo el espacio menos en una recta que es dónde se hace el corte)

14 Abril, 2020, 11:09 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Gracias por tu respuesta, creo que mi problema es que no entiendo bien del todo qué significa tomar una determinación holomorfa. En general, entonces, si me piden demostrar que puedo tomar una determinación holomorfa en un abierto \( \Omega \) (en este caso \( |z|<1 \)) lo que tengo que hacer es ver que todas las imágenes de la función con valores en \( \Omega \) tienen como argumento principal un ángulo de longitud \( 2\pi \)? (en todo el espacio menos en una recta que es dónde se hace el corte)

Claro, supuse que ahí estaba tu problema. Lástima que todavía no haya puesto en mi página lo que es una determinación holomorfa de una función multivaluada, en concreto de la raíz enésima. Mira a ver si te entiendes con este video y plantea tus dudas.