Autor Tema: ¿Es [texx]\{\emptyset\}[/texx] un elemento de [texx]\mathcal{P}(A)[/texx]?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Abril, 2020, 03:20 am
Leído 1676 veces

usuario matematico

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 10
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
tengo una duda de teoria de conjuntos

sea A = {1,2}

el conjunto potencia es

p(A)= { {1},{2},{1,2},  Ø } 

O

p(A)= { {1},{2},{1,2},  [Ø} }


cual de estos dos seria el correcto


agradesco su ayuda

Título corregido a sugerencia de manoooh: De duda teoría de conjuntos a ¿Es [texx]\{\emptyset\}[/texx] un elemento de [texx]\mathcal{P}(A)[/texx]?           

07 Abril, 2020, 04:29 am
Respuesta #1

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,967
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Por definición, el conjunto potencia de \( A \) es el conjunto que tiene por elementos a todos los subconjuntos posibles de \( A \). Es decir que si \( X\in\mathcal P(A) \) es un elemento del conjunto potencia, entonces necesariamente debe ocurrir \( X\subseteq A \).

Ahora vayamos a tu caso. \( A=\{1,2\} \). Si \( \{\emptyset\} \) fuese un elemento de \( \mathcal P(A) \), luego \( \{\emptyset\}\subseteq A \). Pero, ¿esto es cierto?

Recordá la definición de inclusión: \( A\subseteq B\iff\forall x(x\in A\to x\in B) \). ¿Se cumple?

Saludos y #QuedateEnTuCasa

Mods
Título cambiado de "duda teoria de conjuntos" a "¿Es [texx]\{\emptyset\}[/texx] un elemento de [texx]\mathcal{P}(A)[/texx]?".
[cerrar]

07 Abril, 2020, 11:49 am
Respuesta #2

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,272
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
La afirmación de que \(\{\emptyset\}\) pertenece a \(\mathcal P(A)\)
es equivalente a que \(\{\emptyset\}\) es subconjunto de \(A\).
Esto equivale a decir que todo elemento del conjunto \(\{\emptyset\}\) es también elemento del conjunto \(A\).
El conjunto \(\{\emptyset\}\) tiene un único elemento, que es \(\emptyset\).
Por lo tanto, lo que estamos analizando es si \(\emptyset\) es, o no, un elemento de \(A\).
La respuesta a esta pregunta coincide con la respuesta a la pregunta originalmente formulada.

08 Abril, 2020, 02:45 am
Respuesta #3

usuario matematico

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 10
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Entonces ∅ es un elemento de A
o sea ∅ ϵ A

y  ∅ ⊂ A (vacio es subconjunto de cualquier conjunto)

08 Abril, 2020, 03:32 am
Respuesta #4

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,967
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

entonces ∅ es un elemento de A
osea o sea ∅ ϵ A

Pensalo nuevamente. Si defino \( \emptyset=3 \), ¿es cierto que \( 3\in A \)? Si tenés a \( A \) por extensión, hacé una búsqueda visual del elemento \( \emptyset \) en el conjunto \( A \).

Saludos

08 Abril, 2020, 03:46 am
Respuesta #5

usuario matematico

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 10
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
entonces ∅ no es un elemento de A sino un subconjunto de A

osea ∅ ∉ A

y ∅ ⊂ A

08 Abril, 2020, 09:41 am
Respuesta #6

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,054
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.

sea A = {1,2}

el conjunto potencia es

p(A)= { {1},{2},{1,2},  Ø } 

O

p(A)= { {1},{2},{1,2},  [Ø} }

cual de estos dos seria el correcto

agradesco su ayuda


Es que creo (digo creo) que la pregunta no está bien pensada; fíjate en esto:

\( A={\color{blue}\{}1,2{\color{blue}\}}
  \).

Ahí ya está “pintado” o representado el conjunto \( {\color{blue}vac\acute{\imath}o}
  \).

Si consideraras tres elementos sueltos \( 1,2,\{\}
  \), sus combinaciones deberían ir aquí dentro \( \mathcal{P}(A)={\color{magenta}\{...\}}
  \).

La pregunta lógica sería:

¿Es esto?

\( \mathcal{P}(A)={\color{magenta}\{}\,\{1\},\{2\},\{1,2\},\emptyset{\color{magenta}\}}
  \) (o lo que es lo mismo, \( \mathcal{P}(A)={\color{magenta}\{}\,\{1\},\{2\},\{1,2\},{\color{blue}\{\}}{\color{magenta}\}}
  \))

o ¿es esto otro?

\( \mathcal{P}(A)={\color{magenta}\{}\,\{1\},\{2\},{\color{blue}\{\}},\{1,2\},\{1,{\color{blue}\{\}}\},\{2,{\color{blue}\{\}}\},\{1,2,{\color{blue}\{\}}\}{\color{magenta}\}}
  \).

La respuesta es la primera, pues \( A\neq{\color{blue}\{}1,2,\emptyset{\color{blue}\}}
  \) (o alternativamente, \( A\neq\{1,2,\{\}\}
  \)) según lo has definido. O sea, ese conjunto de partes existe, pero es de las partes de otro conjunto diferente.

Saludos.

09 Abril, 2020, 10:26 pm
Respuesta #7

usuario matematico

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 10
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

09 Abril, 2020, 11:39 pm
Respuesta #8

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.



cual seria correcto:

∅ ∉ P(A)

∅ ⊂ P(A)



Yo diría que para el conjunto \( A \) que das la primera afirmación es falsa. Fíjate que \( \emptyset\in{} \)\( \{ \{1\},\{2\},\{1,2\},  \emptyset\}= \)\( \mathcal{P}(A) \)

Y que la segunda es verdadera. Si \( x\in{\emptyset} \) entonces \( x\in{\mathcal{P}(A)} \), ya que el antecedente es falso. De hecho \( \emptyset \) es el mínimo de la relación de orden \( \subseteq{} \). Eso quiere decir que puedes poner \( \emptyset\subseteq{} \) y después lo que sea que va a ser cierto.

Espero haberte aclarado algo. Un saludo.

10 Abril, 2020, 01:59 am
Respuesta #9

usuario matematico

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 10
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
no el anterior estaba mal

este es el correcto:


determinar la verdad

∅ ϵ P(A)

∅ ⊂ P(A)

{∅} ⊂ P(A)

10 Abril, 2020, 08:29 am
Respuesta #10

martiniano

  • Héroe
  • Mensajes: 1,219
  • País: es
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

determinar la verdad

∅ ϵ P(A)

∅ ⊂ P(A)

{∅} ⊂ P(A)

Las dos primeras son verdaderas por lo que te he dicho en mi anterior respuesta, y la tercera es falsa por lo que te han dicho feriva, manooooh y argentinator un poco más arriba.

Un saludo.

13 Abril, 2020, 03:32 am
Respuesta #11

usuario matematico

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 10
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

no se si esta bien esto:

sea A = {1,3,5}
 y { {1} , {1,3,5} , Ø } ⊂ P(A)

entonces se cumple
{1} ϵ P(A)
{1,3,5} ϵ P(A)
Ø ϵ P(A)

tambien nos dice
{Ø} ⊂ P(A)

y entonces tambien se cumpliria
Ø ϵ P(A)

tambien sabemos Ø ⊂ P(A)

osea estas dos serian verdaderas:
 Ø  ⊂  P(A)
{Ø} ⊂ P(A)



13 Abril, 2020, 12:36 pm
Respuesta #12

Bobby Fischer

  • Aprendiz
  • Mensajes: 456
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
    • chess.com
Hola,

Según las respuestas de todos arriba, creo que puede afirmarse que:

\( \emptyset\subset A \)

\( \emptyset\subset \mathcal{P}(A) \)

\( \emptyset\in \mathcal{P}(A) \)

\( \{\emptyset\}\subset \mathcal{P}(A) \)

Son todas ciertas.

14 Abril, 2020, 09:59 pm
Respuesta #13

usuario matematico

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 10
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
estara bien:

{{Ø}} ⊂ P(A) es lo mismo que decir {Ø} ϵ P(A) y eso es falso