Autor Tema: Re: UTF3, por lo pronto, sin descenso_editado

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06 Abril, 2020, 06:58 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongamos que:  \( \pmb{x^3+y^3+z^3=0} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros y coprimos dos a dos.

Si  " \( 3 \) "  no dividiera á  \( x\,\vee\,y\,\vee\,z \) ,  entonces:  \( x^3+y^3+z^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Establezcamos por ejemplo, que  \( 3 \)  divide á  " \( z \) " .

En el cuerpo cúbico puro  \( \pmb{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})} \)  existe, cómo nos ilustra Keith Conrad aquí, el anillo \( \pmb{\mathbb{Z}(\sqrt[3]{2})} \) ;  cuya base entera es:  \( \pmb{\left\lbrace 1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\right\rbrace} \) .  Y  " \( 3 \) "  es uno de los primos rafimicados de este cuerpo; que es igual á:  \( \pi^3\nu \) ,  para:  \( \pi=1+\sqrt[3]{2} \)  -y-  \( \nu=\sqrt[3]{2}-1 \) .  " \( \nu \) "  es una unidad en  \( \mathbb{Q(\sqrt[3]{2})} \) .   

Tenemos que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \)   \( \wedge \)   \( -z^3=x^3+y^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( \pmb{-z^3+3y^3=x^3+4y^3} \) .  " \( x^3+4y^3 \) "  se factoriza en  \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \)  de la siguiente forma:  \( (x+y\sqrt[3]{4})(x+\omega y\sqrt[3]{4})(x+\omega^2 y\sqrt[3]{4})\,=\,(x+y\sqrt[3]{4})(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4}) \) .  Luego:  \( \pmb{-z^3+3y^3=(x+y\sqrt[3]{4})(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4})} \) . 

Si  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \)  es coprimo con  \( x+y\sqrt[3]{4} \) ,  lo será con:  \( (x+y\sqrt[3]{4})^2=x^2+2y^2\sqrt[3]{2}+2xy\sqrt[3]{4} \) .  Veámoslo. Su suma es:  \( 2x^2+4y^2\sqrt[3]{2}+xy\sqrt[3]{4} \)  -y- su diferencia:  \( -3xy\sqrt[3]{4} \) .  Y sólo por el  " \( 3 \) "  vemos ya que  \( -3xy \)  no divide á  \( 2x^2 \) ,  ni á  \( 4y^2 \) ,  ni á  \( xy \) .   

Analicemos esto también en  \( \pmb{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)} \) .  Si  \( x+y\sqrt[3]{4} \)  es coprimo con  \( x+\omega y\sqrt[3]{4} \) ,  tampoco tendrán factores comunes su suma y su diferencia. Su suma es:  \( 2x+y\sqrt[3]{4}(1+\omega) \)  y su diferencia:  \( y\sqrt[3]{4}(1-\omega) \) .  \( 1+\omega \)  es una unidad en  \( \pmb{\mathbb{Q}(\omega)} \)  -y-  \( 1-\omega=-(\omega-1) \) ,  es el asociado de un primo que divide á  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) .  Luego  \( 1-\omega \)  no divide á  \( 2x \)  ni á  \( y\sqrt[3]{4}(1+\omega) \) .  Ya sólo queda verlo respecto de  \( x+\omega^2 y\sqrt[3]{4} \) .  Su suma es:  \( 2x+y\sqrt[3]{4}(1+\omega^2) \)  y su diferencia:  \( y\sqrt[3]{4}(1-\omega^2) \) .  \( 1+\omega^2 \)  es una unidad en  \( \mathbb{Q}(\omega) \)  (el complementario de  \( 1+\omega \) )  -y-  \( 1-\omega^2=(1+\omega)(1-\omega) \) .  Luego por lo mismo que antes,  \( x+y\sqrt[3]{4} \)  es coprimo con  \( x+\omega^2 y\sqrt[3]{4} \)  -y-, por lo tanto, con:  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \) .           

Como  " \( 3 \) "  divide á  \( -z^3 \) ,  entonces  \( \pi=1+\sqrt[3]{2} \) ;  que es primo en  \( \pmb{\mathbb{Z}(\sqrt[3]{2})} \) ,  debe dividir á  \( x+y\sqrt[3]{4} \)  ó á  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \)  -y- sólo a uno de los 2. Comprobémoslo:


\( \dfrac{(x+y\sqrt[3]{4})(\pi^2\nu)}{\pi\cdot\pi^2\nu}\,=\,\dfrac{(x+y\sqrt[3]{4})(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}{3}\,=\,\dfrac{x-2y+(2y-x)\sqrt[3]{2}+(x+y)\sqrt[3]{4}}{3} \)


Sin perder generalidad, partimos de:  \( x^3+y^3+z^3=0 \)   \( \Rightarrow \)   \( 1-1+0\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Luego:  \( x\equiv{1} \) mod \( 3 \)  -y-  \( y\equiv{-1} \) mod \( 3 \) .  De esta manera, vemos aquí que:  \( x-2y\equiv{0} \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( 2y-x\equiv{0} \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( x+y\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Luego  \( \pi \)  divide á  \( x+y\sqrt[3]{4} \) . 


Ahora comprobemos lo siguiente: Que  \( \pi \)  no divide á  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \) :


\( \dfrac{(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4})(\pi^2\nu)}{\pi\cdot\pi^2\nu}\,=\,\dfrac{(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4})(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}{3} \)


\( =\,\dfrac{x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4}-x^2\sqrt[3]{2}-2y^2\sqrt[3]{4}+2xy+x^2\sqrt[3]{4}+4y^2-2xy\sqrt[3]{2}}{3} \)
 

\( =\,\dfrac{x^2+2xy+4y^2+(2y^2-x^2-2xy)\sqrt[3]{2}+(x^2-xy-2y^2)\sqrt[3]{4}}{3} \) 


De donde:  \( x^2+2xy+4y^2\equiv{0} \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( 2y^2-x^2-2xy\equiv{0} \) mod \( 3 \)   \( \wedge \)   \( x^2-xy-2y^2\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Lo que es una contradicción y nos indica que si:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  entonces, por lo pronto:  \( x,y,z \)  no pueden ser coprimos.

Pero si no pueden ser coprimos, existirá una suma  \( x'\,^3+y'\,^3+z'\,^3=0 \)  de coeficientes sí coprimos, que será menor que  \( x^3+y^3+z^3=0 \) .  Y así sucesivamente. Iniciando un proceso de descenso infinito. De manera que  \( x,y,z \)  tampoco podrán ser enteros.


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

13 Abril, 2020, 07:37 pm
Respuesta #1

Fernando Moreno

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Hola. Debido a que Luis Fuentes no va a escribir por un tiempo en el Foro por la situación creada por el coronavirus (que, creo haber leído, le afecta laboralmente al tener que prepar las clases online). Y siendo él el único que contesta a mis pretendidas demostraciones. He puesto la demostración de arriba en inglés en el Foro MSE: https://math.stackexchange.com/questions/3617404/an-application-of-keith-conrads-splitting-field-of-x3-2-over-mathbbq . Bien, como allí tampoco nadie me contestaba jaja. Pues obté por escribir directamente al profesor Keith Conrad sobre lo que había publicado en MSE. Y para mi sorpresa sí que me ha contestado. En ningún momento, eso sí, ha entrado en el fondo de la cuestión. Ni me ha dicho que la demostración está bien ni que está mal. Pero sí que me ha comentado cosas muy interesantes sobre mi (mala) forma de escribir demostraciones. Me ha dicho cosas como que nadie utiliza conectores lógicos en demostraciones matemáticas, que no empiece las frases directamente con números, que le faltan lemas intermedios y sobre todo que la última parte de la demostración era confusa y no estaba bien definida. A resultas de todo esto ayer y hoy edité dicha demostración, que es cómo está ahora en MSE. Y la quiero poner aquí traducida por si ahora se entiende mejor. A partir de ahora voy a intentar escribir las cosas más claras y cuando tenga tiempo también editaré las demostraciones que ya tengo escritas (y que no están falsadas) para ponerlas mejor. Sdos

La demostración:

Después de leer este artículo, pensé en el caso del UTF3:

Sea  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ,  para  \( x,y,z \)  soluciones de enteros coprimos entre sí. 

Si  \( 3 \)  no divide á  \( x,y,z \)  entonces:  \( x^3+y^3+z^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Po lo tanto, establezcamos que  \( 3 \)  divide á  \( z \) .

En el cuerpo cúbico puro \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) ,  como explica el profesor Keith Conrad,  existe el anillo  \( \mathbb{Z}(\sqrt[3]{2}) \) ,  cuya base entera es:  \( \left\lbrace 1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\right\rbrace \) .  El número primo \( 3 \)  está ramificado:  \( \pi^3\nu \) ,  para:  \( \pi=1+\sqrt[3]{2} \)  -y-  \( \nu=\sqrt[3]{2}-1 \) ;  \( \nu \)  es una unidad en  \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) .
 
Tenemos que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \)   -y-   \( -z^3=x^3+y^3 \)   \( \Rightarrow \)   \( -z^3+3y^3=x^3+4y^3 \) .  La expresión  \( x^3+4y^3 \)   se factoriza en  \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \)  como:  \( (x+y\sqrt[3]{4})(x+\omega y\sqrt[3]{4})(x+\omega^2 y\sqrt[3]{4})\,=\,(x+y\sqrt[3]{4})(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4}) \) .  Por tanto:  \( -z^3+3y^3=(x+y\sqrt[3]{4})(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4}) \) (1) .

Consideraré 2 lemas como probados. Que la imposibilidad de ser números racionales en  \( \mathbb{Z}(\sqrt[3]{2}) \)  implica la imposibilidad de serlos en  \( \mathbb{Z} \)  (\( \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}(\sqrt[3]{2}) \)) .  Y la extensión de las reglas aritméticas (por ejemplo: el ser números coprimos) de  \( \mathbb{Z} \)  en  \( \mathbb{Z}(\sqrt[3]{2}) \) .       

A)  Si  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \)  es coprimo con  \( x+y\sqrt[3]{4} \) ,  será coprimo con:  \( (x+y\sqrt[3]{4})^2=x^2+2y^2\sqrt[3]{2}+2xy\sqrt[3]{4} \) .  Veámoslo. Su suma es:  \( 2x^2+4y^2\sqrt[3]{2}+xy\sqrt[3]{4} \)  y su diferencia:  \( -3xy\sqrt[3]{4} \) .  Y sólo por  \( 3 \)  vemos que  \( -3xy \)  no divide á  \( 2x^2 \)  ó  \( 4y^2 \) ,  ó  \( xy \) .  Porque  \( 3 \)  sólo divide á  \( z \) .

B)  Veámoslo en  \( \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega) \) .  Si  \( x+y\sqrt[3]{4} \)  es coprimo con  \( x+\omega y\sqrt[3]{4} \) ,  su suma y su resta no tendrán ningún factor en común. La suma es:  \( 2x+y\sqrt[3]{4}(1+\omega) \)  y la diferencia:  \( y\sqrt[3]{4}(1-\omega) \) .  La expresión  \( 1+\omega \)  es una unidad  \( \mathbb{Q}(\omega) \)  -y-  \( 1-\omega=-(\omega-1) \)  divide á  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) .  Luego  \( 1-\omega \)  no divide á  \( 2x \)  ó  \( y\sqrt[3]{4}(1+\omega) \) .  Ya sólo queda verlo con  \( x+\omega^2 y\sqrt[3]{4} \) .  Su suma es:  \( 2x+y\sqrt[3]{4}(1+\omega^2) \)  y su diferencia:  \( y\sqrt[3]{4}(1-\omega^2) \) .  Pero  \( 1+\omega^2 \)  es también una unidad en  \( \mathbb{Q}(\omega) \)  (el conjugado de  \( 1+\omega \) )  -y-  \( 1-\omega^2=(1+\omega)(1-\omega) \) .  Luego, por la misma razón que antes  \( x+y\sqrt[3]{4} \)  es coprimo con  \( x+\omega^2 y\sqrt[3]{4} \)  y por lo tanto con:  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \) .         

Como  \( 3 \)  divide á  \( -z^3 \) (1) ,  entonces:  \( \pi=1+\sqrt[3]{2} \) ,  que es primo en  \( \mathbb{Z}(\sqrt[3]{2}) \) ,  debe dividir á  \( x+y\sqrt[3]{4} \)  ó  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \)  y sólo a uno de los dos. Comprobémoslo:


\( \dfrac{(x+y\sqrt[3]{4})(\pi^2\nu)}{\pi\cdot\pi^2\nu}\,=\,\dfrac{(x+y\sqrt[3]{4})(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}{3}\,=\,\dfrac{x-2y+(2y-x)\sqrt[3]{2}+(x+y)\sqrt[3]{4}}{3} \) 


Sin perder generalidad, partimos de:  \( x^3+y^3+z^3=0 \)   \( \Rightarrow \)   \( 1-1+0\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Luego:  \( x\equiv{1} \) mod \( 3 \)  -y-  \( y\equiv{-1} \) mod \( 3 \) .  De esta manera, vemos aquí que:  \( x-2y\equiv{0} \) mod \( 3 \)   ,   \( 2y-x\equiv{0} \) mod \( 3 \)   -y-   \( x+y\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Por tanto  \( \pi \)  divide á  \( x+y\sqrt[3]{4} \) .


Ahora comprobemos lo siguiente:  \( \pi \)  no divide á  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \) .


\( \dfrac{(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4})(\pi^2\nu)}{\pi\cdot\pi^2\nu}\,=\,\dfrac{(x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4})(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}{3} \)


\( =\,\dfrac{x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4}-x^2\sqrt[3]{2}-2y^2\sqrt[3]{4}+2xy+x^2\sqrt[3]{4}+4y^2-2xy\sqrt[3]{2}}{3} \)
 

\( =\,\dfrac{x^2+2xy+4y^2+(2y^2-x^2-2xy)\sqrt[3]{2}+(x^2-xy-2y^2)\sqrt[3]{4}}{3} \) 


Pero:  \( x^2+2xy+4y^2\equiv{0} \) mod \( 3 \)   ,   \( 2y^2-x^2-2xy\equiv{0} \) mod \( 3 \)   -y-   \( x^2-xy-2y^2\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Esto es una contradicción y lo que nos dice es que si:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  debe dividir á  \( x,y \)  -y-  \( z \)  en  \( \mathbb{Z}(\sqrt[3]{2}) \) . En concreto, si  \( 3 \)  divide á  \( x+y\sqrt[3]{4} \)   -y- á  \( x^2+2y^2\sqrt[3]{2}-xy\sqrt[3]{4} \) ,  en A) vimos que  \( 3 \)  debería haber dividido á  \( x,y \) ,  no sólo á  \( z \) ;  -y- en B), en  \( \mathbb{Z}(\sqrt[3]{2},\omega) \) ,  que  \( 1-\omega \)  debería haber dividido á  \( x,y \)  además de á  \( z \)  (\( 1-\omega \)  es un factor de  \( 3 \)) .   

Pero si  \( 3 \)  divide á  \( x,y,z \)  en  \( \mathbb{Z}(\sqrt[3]{2}) \)  -y- por tanto en  \( \mathbb{Z} \) ; entonces:  \( x^3=3^3x'\,^3\,,\,y^3=3^3y'\,^3 \)  -y-  \( z^3=3^3z'\,^3 \) . Y existirá una suma: \( x'\,^3+y'\,^3+z'\,^3=0 \) , para  \( x',y',z' \)  enteros y coprimos, que será menor que  \( x^3+y^3+z^3=0 \) .  Y así sucesivamente. Comenzando un descenso infinito. Por lo que \( x,y,z \)  no pueden ser racionales.



EDITADO  -  28 de abril.

Esta demostración, aunque me la habían dado por buena en MSE; me he dado cuenta que no es correcta (¡Luis Fuentes sí que se hubiera dado cuenta! jajaja). Me he contestado en MSE a mí mismo indicando el error:

"  The above proof has a mistake.

\( 2x^2+4y^2\sqrt[3]{2}+xy\sqrt[3]{4} \)  and  \( -3xy\sqrt[3]{4} \)  aren't relatively coprime. Because  \( 1+\sqrt[3]{2} \)  divides both.

\( \dfrac{(2x^2+4y^2\sqrt[3]{2}+xy\sqrt[3]{4})(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}{(1+\sqrt[3]{2})(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})} \)

\( =\,\dfrac{2x^2-2xy+8y^2+(4y^2-2x^2+2xy)\sqrt[3]{2}+(xy-4y^2+2x^2)\sqrt[3]{4}}{3} \)

\( 2x^2-2xy+8y^2\equiv{0} \) mod \( 3 \)  ,  \( 4y^2-2x^2+2xy\equiv{0} \) mod \( 3 \)  and  \( xy-4y^2+2x^2\equiv{0} \) mod \( 3 \) .

And certainly  \( 1+\sqrt[3]{2} \)  divides  \( -3xy\sqrt[3]{4} \) .   

I'm sorry  "

El link es éste:  https://math.stackexchange.com/questions/3617404/an-application-of-keith-conrads-splitting-field-of-x3-2-over-mathbbq

An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr