Hola a todos,
Tengo que hacer un ejercicio de teoría de la medida pero estoy un poco bloqueado y espero que alguien pueda ayudarme.
El enunciado es el siguiente:
Sea \( f\in M^+(X,S) \) una función medible, positiva y acotada.
Muestre que \( \int f\,d\mu<\infty\Leftrightarrow\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\mu\left(\left\{x\in X:f(x)\geq\frac{1}{2^n}\right\}\right)<\infty \).
Se puede suponer que \( \mu(X)=\infty \).
Esto es lo que tengo hasta ahora:
\( A_n:=\left\{x\in X:f(x)\geq\frac{1}{2^n}\right\} \)
(\( \Rightarrow \))
\( \frac{\mu(A_n)}{2^n}\leq\int_{A_n}f\,d\mu \)
\( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mu(A_n)}{2^n}\leq\sum_{n=0}^{\infty}\int_{A_n}f\,d\mu=\sum_{n=0}^{\infty}\int f\cdot\mathcal{X}_{A_n}\,d\mu=\int\sum_{n=0}^{\infty}f\cdot\mathcal{X}_{A_n}\,d\mu \)
Ahora me gustaría decir que \( \int\sum_{n=0}^{\infty}f\cdot\mathcal{X}_{A_n}\,d\mu<\infty \), pero no sé como justificarlo.
(\( \Leftarrow \))
\( \int f\,d\mu=\sum_{n=0}^\infty\int_{A_n-A_{n-1}}f\,d\mu\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(A_n-A_{n-1})}{2^{n-1}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(A_n)}{2^{n-1}}<\infty \)
Si alguien pudiera revisar lo que he hecho y ayudarme con la primera parte de la demostración le estaría eternamente agradecido.
