Autor Tema: Funciones analíticas

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05 Abril, 2020, 04:36 pm
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Steven_Math

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  • Sexo: Masculino
Buenos días, he estado resolviendo el siguiente ejercicio :

Halle el conjunto de analiticidad y la derivada de cada una de las siguientes funciones

  • \( f(z)=\sqrt{z^3-1} \)

 Para hallar el conjunto de analiticidad de \( f \), expresé a \( f=u_2\circ u_1 \) donde \( u_1(z)=z^3-1 \) y \( u_2(w)=\sqrt{w} \), luego hallé el conjunto de analiticidad de cada una de estas funciones: \( u_1 \) es analítica en todo \( \mathbb{C} \) por ser polinomica y \( u_2 \) es analítica en \( \mathbb{C}\setminus (-\infty, 0] \)
Por lo que \( f \) es analítica en el conjunto:
\( \mathbb{C}\setminus M \), donde \( M=\{z\in \mathbb{C} \ : \ u_1(z)\in (-\infty, 0] \} \)
Ahora debo hallar a que es igual el conjunto \( M \), haciendo el respectivo cálculo y haciendo \( z=x+iy \)
llegué a que  \( M=\{z \in \mathbb{C} \ : \ x\in\mathbb{R} \} \).
¿Sí está bien el conjunto de analiticidad de \( f \)?

  • \( g(z)=senLog(z^2) \)

 
Expresé \( g(z)=v(r(j(z)) \), donde \( v(z)=sen(z) \), \( r(z)=Log(z) \) y \( j(z)=z^2 \), el conjunto de analiticidad \( j(z)=z^2 \) es todo \(  \mathbb{C} \) por ser polinomica.
Pero no sé cuál es el conjunto de analiticidad de la funciones \( v(z)=sen(z) \) y \( r(z)=Log(z) \).
A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de \( g \)?

  • \( h(z)=e^{z^4-1} \)

Este ejercicio me resultó fácil, simplemente hallé el conjunto de analiticidad de \( e^z \) y de \( z^4-1 \), y ambas son analíticas en todo \( \mathbb{C} \) por lo que, \( h \) es también analítica en \( \mathbb{C} \).

  • \( i(z)=z^z \)
Para resolver este ejercicio expresé la función \( i(z)=z^z \) como \( i(z)=z^z=e^{zlog(z)} \), el cuál es la composición de las funciones \( j(z)=e^z \) que es analítica en todo \( \mathbb{C} \)  y \( k(w)=wlog(w) \), pero no sé dónde es analítica \( k \). A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de la función \( i \)?
[/list]

Les agradezco su ayuda.

Saludos.


06 Abril, 2020, 06:02 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Héroe
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  • País: es
  • Karma: +4/-0
    Buenos días, he estado resolviendo el siguiente ejercicio :

    Halle el conjunto de analiticidad y la derivada de cada una de las siguientes funciones

    • \( f(z)=\sqrt{z^3-1} \)

     Para hallar el conjunto de analiticidad de \( f \), expresé a \( f=u_2\circ u_1 \) donde \( u_1(z)=z^3-1 \) y \( u_2(w)=\sqrt{w} \), luego hallé el conjunto de analiticidad de cada una de estas funciones: \( u_1 \) es analítica en todo \( \mathbb{C} \) por ser polinomica y \( u_2 \) es analítica en \( \mathbb{C}\setminus (-\infty, 0] \)
    Por lo que \( f \) es analítica en el conjunto:
    \( \mathbb{C}\setminus M \), donde \( M=\{z\in \mathbb{C} \ : \ u_1(z)\in (-\infty, 0] \} \)
    Ahora debo hallar a que es igual el conjunto \( M \), haciendo el respectivo cálculo y haciendo \( z=x+iy \)
    llegué a que  \( M=\{z \in \mathbb{C} \ : \ x\in\mathbb{R} \} \).
    ¿Sí está bien el conjunto de analiticidad de \( f \)?

    Tu resultado es erróneo ya que \( \operatorname{Re}(z)\in \mathbb{R}  \) para todo \( z\in \mathbb C  \).

    Si entendemos \( \sqrt{w}:=\exp\left(\frac1{2}\ln w\right)=\exp\left(\frac1{2}\ln |w|+i\frac1{2}\arg(w)\right) \) donde \( \arg(w)\in(-\pi,\pi] \), entonces la raíz cuadrada es analítica exceptuando allí donde \( |\arg(w)|=\pi \), es decir, para los números negativos (y el cero), quedando que \( \sqrt{\cdot } \) es analítica en \( \mathbb C \setminus (-\infty ,0] \) como ya habías expuesto. Entonces

    \( \displaystyle{
    z^3-1\notin (-\infty ,0]\iff z^3\notin (-\infty ,1]\iff \arg(z)\notin \{-\pi /3,\pi /3,\pi \}{\color{red}{\,\land\, }} z\notin[0,1]
    } \)

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    • \( g(z)=senLog(z^2) \)

     
    Expresé \( g(z)=v(r(j(z)) \), donde \( v(z)=sen(z) \), \( r(z)=Log(z) \) y \( j(z)=z^2 \), el conjunto de analiticidad \( j(z)=z^2 \) es todo \(  \mathbb{C} \) por ser polinomica.
    Pero no sé cuál es el conjunto de analiticidad de la funciones \( v(z)=sen(z) \) y \( r(z)=Log(z) \).
    A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de \( g \)?

    Tienes que \( \sen(z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i} \), por tanto la función seno es analítica en todo \( \mathbb C  \). El valor principal del logaritmo complejo es analítico en todas partes excepto en \( (-\infty ,0] \), y \( z^2\notin (-\infty ,0] \) si y solo si \( \arg(z)\notin \{-\pi /2,\pi /2\}{\color{red}{\,\land\, }} z\neq 0 \).

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    • \( h(z)=e^{z^4-1} \)

    Este ejercicio me resultó fácil, simplemente hallé el conjunto de analiticidad de \( e^z \) y de \( z^4-1 \), y ambas son analíticas en todo \( \mathbb{C} \) por lo que, \( h \) es también analítica en \( \mathbb{C} \).

    Correcto.

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    • \( i(z)=z^z \)
    Para resolver este ejercicio expresé la función \( i(z)=z^z \) como \( i(z)=z^z=e^{zlog(z)} \), el cuál es la composición de las funciones \( j(z)=e^z \) que es analítica en todo \( \mathbb{C} \)  y \( k(w)=wlog(w) \), pero no sé dónde es analítica \( k \). A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de la función \( i \)?
    [/list]

    Les agradezco su ayuda.

    Saludos.

    La función \( k(w):=w\ln w \), entendiendo el logaritmo como el valor principal, es analítica en todas partes exceptuando cuando \( w\in(-\infty ,0] \).

    CORREGIDO.

    06 Abril, 2020, 07:45 pm
    Respuesta #2

    Steven_Math

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      • \( i(z)=z^z \)
      Para resolver este ejercicio expresé la función \( i(z)=z^z \) como \( i(z)=z^z=e^{zlog(z)} \), el cuál es la composición de las funciones \( j(z)=e^z \) que es analítica en todo \( \mathbb{C} \)  y \( k(w)=wlog(w) \), pero no sé dónde es analítica \( k \). A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de la función \( i \)?
      [/list]

      Les agradezco su ayuda.

      Saludos.

      La función \( k(w):=w\ln w \), entendiendo el logaritmo como el valor principal, es analítica en todas partes exceptuando cuando \( w\in(-\infty ,0] \).
      De acuerdo a esto, donde es analítica la función \( i \), ¿podría decir que es analítica en todas partes exceptuando en \( (-\infty ,0] \)?

      06 Abril, 2020, 07:59 pm
      Respuesta #3

      Masacroso

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        • \( i(z)=z^z \)
        Para resolver este ejercicio expresé la función \( i(z)=z^z \) como \( i(z)=z^z=e^{zlog(z)} \), el cuál es la composición de las funciones \( j(z)=e^z \) que es analítica en todo \( \mathbb{C} \)  y \( k(w)=wlog(w) \), pero no sé dónde es analítica \( k \). A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de la función \( i \)?
        [/list]

        Les agradezco su ayuda.

        Saludos.

        La función \( k(w):=w\ln w \), entendiendo el logaritmo como el valor principal, es analítica en todas partes exceptuando cuando \( w\in(-\infty ,0] \).
        De acuerdo a esto, donde es analítica la función \( i \), ¿podría decir que es analítica en todas partes exceptuando en \( (-\infty ,0] \)?

        Yo creo que sí, depende de tu profesor, en el contexto creo que se sobre-entiende que te refieres a que es analítica en \( \mathbb C \setminus (-\infty ,0] \).

        07 Abril, 2020, 01:33 am
        Respuesta #4

        Steven_Math

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        Muchas gracias Masacroso por tu gran ayuda.
        Saludos.

        07 Abril, 2020, 02:20 pm
        Respuesta #5

        Steven_Math

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        Citar
        Tu resultado es erróneo ya que \( \operatorname{Re}(z)\in \mathbb{R}  \) para todo \( z\in \mathbb C  \).

        Si entendemos \( \sqrt{w}:=\exp\left(\frac1{2}\ln w\right)=\exp\left(\frac1{2}\ln |w|+i\frac1{2}\arg(w)\right) \) donde \( \arg(w)\in(-\pi,\pi] \), entonces la raíz cuadrada es analítica exceptuando allí donde \( |\arg(w)|=\pi \), es decir, para los números negativos (y el cero), quedando que \( \sqrt{\cdot } \) es analítica en \( \mathbb C \setminus (-\infty ,0] \) como ya habías expuesto. Entonces

        \( \displaystyle{
        z^3-1\notin (-\infty ,0]\iff z^3\notin (-\infty ,1]\iff \arg(z)\notin \{-\pi /3,\pi /3,\pi \}\,\lor\, z\notin[0,1]
        } \)

        Tengo una duda aquí, ¿en vez de \( "\lor" \)  no sería \( "\wedge" \)?. Pues
        \( z^3-1\notin (-\infty ,0] \) si y solo si \( z^3\notin ((-\infty,0)\cup[0,1]) \)
        y por Ley de D'Morgan
        \( z^3\notin ((-\infty,0) \wedge z^2\notin[0,1] \) si y solo si \( \arg(z)\notin \{-\pi /3,\pi /3,\pi\}\,\wedge\, z\notin[0,1] \).


         
        Citar

        Tienes que \( \sen(z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i} \), por tanto la función seno es analítica en todo \( \mathbb C  \). El valor principal del logaritmo complejo es analítico en todas partes excepto en \( (-\infty ,0] \), y \( z^2\notin (-\infty ,0] \) si y solo si \( \arg(z)\notin \{-\pi /2,\pi /2\}\,\lor\, z\neq 0 \).

        Saludos.

        Igual que en el caso anterior: ¿en vez de \( "\lor" \)  no sería \( "\wedge" \)?.

        07 Abril, 2020, 02:33 pm
        Respuesta #6

        Masacroso

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        Tu resultado es erróneo ya que \( \operatorname{Re}(z)\in \mathbb{R}  \) para todo \( z\in \mathbb C  \).

        Si entendemos \( \sqrt{w}:=\exp\left(\frac1{2}\ln w\right)=\exp\left(\frac1{2}\ln |w|+i\frac1{2}\arg(w)\right) \) donde \( \arg(w)\in(-\pi,\pi] \), entonces la raíz cuadrada es analítica exceptuando allí donde \( |\arg(w)|=\pi \), es decir, para los números negativos (y el cero), quedando que \( \sqrt{\cdot } \) es analítica en \( \mathbb C \setminus (-\infty ,0] \) como ya habías expuesto. Entonces

        \( \displaystyle{
        z^3-1\notin (-\infty ,0]\iff z^3\notin (-\infty ,1]\iff \arg(z)\notin \{-\pi /3,\pi /3,\pi \}\,\lor\, z\notin[0,1]
        } \)

        Tengo una duda aquí, ¿en vez de \( "\lor" \)  no sería \( "\wedge" \)?. Pues
        \( z^3-1\notin (-\infty ,0] \) si y solo si \( z^3\notin ((-\infty,0)\cup[0,1]) \)
        y por Ley de D'Morgan
        \( z^3\notin ((-\infty,0) \wedge z^2\notin[0,1] \) si y solo si \( \arg(z)\notin \{-\pi /3,\pi /3,\pi\}\,\wedge\, z\notin[0,1] \).


         
        Citar

        Tienes que \( \sen(z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i} \), por tanto la función seno es analítica en todo \( \mathbb C  \). El valor principal del logaritmo complejo es analítico en todas partes excepto en \( (-\infty ,0] \), y \( z^2\notin (-\infty ,0] \) si y solo si \( \arg(z)\notin \{-\pi /2,\pi /2\}\,\lor\, z\neq 0 \).

        Saludos.

        Igual que en el caso anterior: ¿en vez de \( "\lor" \)  no sería \( "\wedge" \)?.

        esto está mal
        No, el símbolo \( \,\lor\,  \) significa "o", y el símbolo \( \,\land\,  \) significa "y". Si pones \( \,\land\,  \) estás diciendo que ambas condiciones deben cumplirse a la vez, y si pones \( \,\lor\,  \) estás diciendo que alguna de las condiciones debe cumplirse.

        En este caso las condiciones son incompatibles, es decir, en el primer ejemplo un número no puede negativo y pertenecer al mismo tiempo a \( [0,1] \), y en el segundo o bien es cero o posee argumento (el argumento del cero no está definido).
        [cerrar]

        CORRECCIÓN: SÍ, tiene usted toda la razón del mundo, tal y como está escrito debería ser \( \,\land\,  \) en vez de \( \,\lor\,  \) ya que estamos utilizando la negación de pertenencia. Ahora lo corrijo en mi mensaje anterior.