Buenos días, he estado resolviendo el siguiente ejercicio :
Halle el conjunto de analiticidad y la derivada de cada una de las siguientes funciones
Para hallar el conjunto de analiticidad de \( f \), expresé a \( f=u_2\circ u_1 \) donde \( u_1(z)=z^3-1 \) y \( u_2(w)=\sqrt{w} \), luego hallé el conjunto de analiticidad de cada una de estas funciones: \( u_1 \) es analítica en todo \( \mathbb{C} \) por ser polinomica y \( u_2 \) es analítica en \( \mathbb{C}\setminus (-\infty, 0] \)
Por lo que \( f \) es analítica en el conjunto:
\( \mathbb{C}\setminus M \), donde \( M=\{z\in \mathbb{C} \ : \ u_1(z)\in (-\infty, 0] \} \)
Ahora debo hallar a que es igual el conjunto \( M \), haciendo el respectivo cálculo y haciendo \( z=x+iy \)
llegué a que \( M=\{z \in \mathbb{C} \ : \ x\in\mathbb{R} \} \).
¿Sí está bien el conjunto de analiticidad de \( f \)?
Expresé \( g(z)=v(r(j(z)) \), donde \( v(z)=sen(z) \), \( r(z)=Log(z) \) y \( j(z)=z^2 \), el conjunto de analiticidad \( j(z)=z^2 \) es todo \( \mathbb{C} \) por ser polinomica.
Pero no sé cuál es el conjunto de analiticidad de la funciones \( v(z)=sen(z) \) y \( r(z)=Log(z) \).
A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de \( g \)?
Este ejercicio me resultó fácil, simplemente hallé el conjunto de analiticidad de \( e^z \) y de \( z^4-1 \), y ambas son analíticas en todo \( \mathbb{C} \) por lo que, \( h \) es también analítica en \( \mathbb{C} \).
Para resolver este ejercicio expresé la función \( i(z)=z^z \) como \( i(z)=z^z=e^{zlog(z)} \), el cuál es la composición de las funciones \( j(z)=e^z \) que es analítica en todo \( \mathbb{C} \) y \( k(w)=wlog(w) \), pero no sé dónde es analítica \( k \). A partir de ello, ¿Cuál es el conjunto de analiticidad de la función \( i \)?
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Les agradezco su ayuda.
Saludos.