[Maribrevas]

Alguien me podría ayudar con esto? Gracias!

Si 1 una función es continua, entre los dos estados de una órbita 2-periódica hay necesariamente un equilibrio.
B) probar con un ejemplo que este resultado no es cierto si f no es continua.

Corregido título y enunciado.
Sea el sistema dinámico discreto \( (S) \).

(a)  Si la función \( f  \) es continua, demuestre que entre los dos estados de una órbita \( 2 \)-periódica hay necesariamente un equilibrio \( l \).
(b) Pruebe, con un ejemplo, que este resultado no es cierto si \( f \) no es continua. 

[Fernando Revilla]

Bienvenida al foro.

Si 1 una función es continua, entre los dos estados de una órbita 2-periódica hay necesariamente un equilibrio.
B) probar con un ejemplo que este resultado no es cierto si f no es continua.

Debes leer las reglas del foro sobre como postear, ortografía, títulos y uso de LaTeX, por esta vez te lo hemos arreglado desde la administración.

En cuanto al problema, sea \( O^+(x_0)=\{x_0,x_1,x_0,x_1,\ldots\} \) una órbita \( 2 \)-periódica del sistema dinámico \( x_{n+1}=f(x_n) \) con \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) continua. Supongamos sin pérdida de generalidad que \( x_0 < x_1 \). Llamando \( g(x)=x-f(x) \) tenemos:

        \( g(x_0)=x_0-f(x_0)=x_0-x_1 <0,\quad g(x_1)=x_1-f(x_1)=x_1-x_0 >0. \)

Por el teorema de Bolzano, existe \( l\in (x_0,x_1) \) tal que \( g(l)=l-f(l)=0 \), es decir \( f(l)=l \). Intenta el apartado (b) con la idea del (a).