Autor Tema: Estimador insegado

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04 Abril, 2020, 09:00 am
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YeffGC

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Hola hay alguna proceso para encontrar un estimador insegado.

En  una serie de pruebas de bernoulli con probabilidad de exio p se observan r exitos siendo \( p^*=\displaystyle\frac{r}{n} \) determinar un estimador insesgado para \( pq \)


Existe un metodo para encontrarlo es con la Cota de Rao?

05 Abril, 2020, 08:58 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Resulta que \( pq \) es la varianza de una variable de Bernoulli de parámetro \( p \) y que la cuasivarianza muestral (puede tener otros nombres) es un estimador insesgado de la varianza en caso de que exista. Por tanto una posible respuesta sería la cuasivarianza muestral, que aquí se puede expresar en términos de \( p*=\hat{p} \) y \( n \) ya que:

\( \tilde{s}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}=\displaystyle\frac{n}{n-1}\cdot{}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{n}-\bar{x}^2\right)= \)\( \displaystyle\frac{n}{n-1}\cdot{}\left(\displaystyle\frac{r}{n}-\left(\displaystyle\frac{r}{n}\right)^2\right)= \)\( \displaystyle\frac{n}{n-1}\cdot{}\left(\hat{p}-\hat{p}^2\right) \)

He cambiado el símbolo de la proporción muestral porque me quedaba mejor en las fórmulas.

Se puede llegar al mismo estimador sin utilizar resuoltados previos si se actúa con un poco de intuición y se calcula, mediante sus propiedades, la esperanza de \( \hat{p}(1-\hat{p}) \) para ver que vale:

\( E(\hat{p}(1-\hat{p}))=\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot{}p(1-p) \)

Un saludo.